умк_Вабищевич_Физика_ч

Максвелл, обобщая закон полного тока v∫ HLdL = ∫ jполнdS и вводя

L S

в правую часть кроме тока проводимости также ток смещения, записал урав-

нение, получившее название второе уравнение Максвелла

Система уравнений Максвелла

В систему уравнений Максвелла, кроме двух описанных выше, входит также теорема Гаусса для электрического и магнитного полей. G

Теорема Гаусса для электрического поля с индукцией D имеет вид:

с объемной плотностью ρ выражение (8) имеет более обобщающий вид

v∫ DdS = ∫ρdV .

S V

Теорема Гаусса для магнитного поля с индукцией B имеет вид

v∫ BdS = 0 .

S

Полная система уравнений в интегральной форме

v∫ DdS = ∫ρdV ;

S V

Первые два уравнения свидетельствуют о том, что электрическое поле возникает как в области с неподвижными зарядами, так и в том случае, когда происходит изменение потока индукции магнитного поля во времени.

Вторые два уравнения показывают, что магнитное поле является вихревым и возникает лишь при наличии электрических токов или изме-

151

няющегося во времени электрического поля или того и другого одновременно, т.е. никаких магнитных зарядов не существует.

Из уравнений Максвелла следует, что электрические и магнитные поля являются проявлением единого электромагнитного поля.

Эта система уравнений достаточна для описания всех электромагнитных явлений, в которых не проявляются квантовые закономерности.

Физическая сущность уравнений Максвелла заключается в том, что:

1.электромагнитное поле можно разделить на электрическое и магнитное лишь относительно;

2.изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле, а изменяющееся электрическое поле порождает магнитное; причем эти поля взаимосвязаны.

Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле способно существовать в отсутствие электрических зарядов и токов. Изменение его состояния имеет волновой характер, т.е. является электромагнитной волной. Электромагнитная волна в вакууме распространяется со ско-

ростью света с = 3 108 м/с.

Опыты Г. Герца и изобретение радио А.С. Поповым подтвердили теоретическое предсказание Максвелла.

Уравнения Максвелла стоят в одном ряду с такими законами природы, как законы механики Ньютона, начала термодинамики.

В современной физике электромагнитное поле рассматривается как особый вид материи, к которой применимы важнейшие понятия физики – энергия, импульс, масса.

152

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ № 6 «ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ И ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ»

Введение

Вданном модуле рассмотрены волновые процессы в упругих средах

иэлектромагнитные волны (свет). Особенности электромагнитных (световых) волн рассматриваются на основе волновой оптики (распространение света в веществе, поляризация света, интерференция и дифракция).

Объединение механических и электромагнитных волн в одном модуле обусловлено возможностью единого подхода к их описанию, не смотря на различие их физической сути. Это позволяет значительно сократить бюджет времени для изучения волновых процессов.

Модуль состоит их четырех учебных блоков. В первом рассматриваются вопросы общие для волновых процессов. Во втором кратко рассматриваются основы геометрической оптики. В третьем изложены основы явлений интерференции и дифракции света. В четвертом представлены явления и законы поляризации света.

Учебно-методическая структура модуля

153

Методическая программа модуля

154

1. УЧЕБНЫЙ БЛОК «ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ»

Введение

Вприроде существуют процессы, в которых состояние физического объекта, непрерывно изменяясь во времени, периодически повторяется.

Данные процессы – колебания – были рассмотрены в модулях № 1

и№ 2. Если совершающий колебания физический объект является частью системы взаимодействующих объектов, то в такой системе, например в веществе (упругой среде), колебания распространяются по всей среде с некоторой скоростью. Этот процесс называется волновым.

Вданном разделе рассматриваются общие уравнения волновых процессов, примеры использования этих уравнений при распространении волн

ивзаимодействии волн с веществом. Независимо от природы волн для описания волновых процессов применяется общая терминология.

При изучении данного раздела студенты должны

иметь представление:

–о способах описания колебательного движения в механике и электромагнетизме;

–об основных механических характеристиках движения и связях между ними;

–о принципе суперпозиции в механике и электромагнетизме;

обладать навыками:

–определения механических характеристик движения (скорости, ускорения, импульса, энергии) по заданному уравнению движения;

–определения параметров результирующего колебания, как результата суперпозиции нескольких колебаний.

Учебная программа блока

155

Цели обучения

1.1. Краткое содержание теоретического материала

Волновое уравнение

Рассмотрим упрощенно формирование волны в упругой среде. Пусть имеется плоская система упруго связанных материальных точек (упругая среда), лежащая в системе координат (X, Y). Пусть материальная точка, лежащая вначалекоординат, начинаетколебаниявдольосиY вмоментt = 0 (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Через некоторое время t1 точка А перемещается в положение 1, смещая вверх рядом лежащие точки среды, согласно кривой 1. Через время t2 точка А оказывается в положении 2, а смещение частиц среды характеризуется кривой 2. Если положение 2 соответствует амплитуде колебаний точки А, то за время t3 точка А сместится в обратном направлении в положение 1, а положение точек среды будет характеризоваться кривой 3. Далее точка А смещается в положение 0, а возмущение среды характеризуется кривой 4.

156

Далее:

–А в положении (– 1), кривая 5;

–А в положении (– 2), кривая 6;

–А в положении (– 1), кривая 7;

–А в положении (0), кривая 8.

Таким образом точка А завершает одно колебание относительно начала координат и возмущение среды (смещение точек среды относительно оси X соответствует кривой8, котораяпоказывает, чтопроцессколебанийточексреды (по оси Y) за один период Т колебаний точки А распространился вдоль оси X на расстояние х1. Это расстояние называется длиной волны λ. При продолжении колебанийточкиА, рассмотреннаяситуациябудетповторятьсявдольX.

Очевидно, что возмущение среды, если она объемная, будет распространяться во всех направлениях. Однако рассмотренного упрощенного примера достаточно для понимания возбуждения волны в упругой среде. Из примера также ясно, что частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются в поступательное движение вдоль направления распространения волны, а лишь совершают колебания относительно своих положений равновесия (невозмущенных состояний).

В зависимости от направления колебаний частиц среды относительно направления распространения волны подразделяют на поперечные (рис. 1.1) и продольные. В продольной волне частицы совершают колебания вдоль направления распространения волны.

Геометрическое место точек, до которых распространяется возмущение среды к моменту времени t (например точка х1 на рис. 1.1) называется фронтом волны (волновым фронтом). Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновой фронт является частным случаем волновой поверхности. Если волновые поверхности имеют вид плоскости – волна называется плоской. Если волновая поверхность – сфера, то волна называется сферической. Волновые поверхности могут иметь различные виды, и форма их зависит от характера анизотропии упругих свойств среды в различных направлениях.

Упругие поперечные волны могут возникать лишь в средах, обладающих сопротивлением сдвигу. Поэтому поперечные и продольные волны могут возникать в твердых телах. В жидких и газообразных средах возникают только продольные волны. В жидких средах возможно также образование поверхностных волн.

Для получения волнового уравнения введем некоторые количественные характеристики волны. Так, длина волны λ

λ = uT

157

или (с учетом T = ν1 = 2ωπ )

λ = uν = 2ωπu ,

где u – скорость распространения волны; ν – частота колебаний (ω – циклическая частота). Пусть в некоторой точке среды с координатой х = 0 происходит гармоническое колебательное движение с частотой ω

ξ = a cosωt ,

где a – амплитуда колебания; ξ – отклонение от равновесия в момент t.

В точку x данное колебание переместится спустя время τ = uх , поэтому дляx можнозаписать

Выражение (1) представляет собой уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси x. Величина

фаза ϕ0 определяется так же, как и для колебаний осциллятора – источника

волны. Часто для упрощения описания волны, начало отсчета времени и начало отсчета координаты выбирают так, чтобы ϕ0 была равна нулю.

Как следует из (1) в волновом процессе отклонение точки среды от положения равновесия является функцией двух аргументов t и х. Поэтому в частных производных можно записать:

Используя эти выражения, можно получить дифференциальное уравнение волнового процесса

Как и уравнение (1), волновое уравнение (2) описывает некоторую волну, распространяющуюся вдоль оси x со скоростью u. Причем u характеризует скорость распространения фазы волны и носит название фазовой скорости:

u = dxdt (скоростьперемещенияфронтаволныиливолновойповерхности).

158

Если ввести величину k

где k – волновой вектор, n – единичный вектор, нормальный к волновой поверхности, то уравнение (1) может быть записано в более общем виде

r – перемещение, на которое распространилась волна в направлении k . При распространении волн в поглощающей энергию среде интенсив-

ность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается, т.е. происходитзатуханиеволны. Следовательно, уравнениеволныимеетвид

ξ = a0e−γx cos(ωt − kx + ϕ0 ),

где a0 – амплитуда в точке x = 0, γ – коэффициент затухания, зависящий от свойств среды.

Наряду с плоскими волнами большое практическое значение имеют сферические волны. Фаза колебаний на расстоянии r от центра пульсирующего шара радиуса R (источника волны) будет отставать от фазы коле-

r −u R . Если колебания шара про-

исходят по гармоническому закону с частотой ω, то фаза ϕ на волновой поверхности с радиусом r будет равна

Амплитуда колебаний сферической волны убывает не только за счет затухания волн в среде, но и в результате увеличения площади поверхности (так как площади dS, на которые опирается те-

лесный угол (рис. 1.2), в котором распространяется доля энергии колебаний, с увеличением r растут). Поэтому уравнение сферической волны без учета затухания имеет вид

где a – постоянная, численно равная амплитуде на

расстоянииотцентрашараr = 1 (вотн. единицах).

Рис. 1.2

159

Уравнение для волн, распространяющихся в анизотропной по упругим свойствам среде, имеет вид

Решением уравнения (7) является выражение

где kr = kx x + ky y + kz z , причем выполняется условие

Скорость распространения упругих волн

Определим скорость распространения поперечной волны в струне. Выделим элемент струны ∆ << λ, для него равнодействующая сил натяжения F направлена вниз и равна F∆α ( ∆α – малый угол) (рис. 1.3). Ускорение этого элемента можно определить через скорость u вдоль z (по каса-

в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, любое направление колебаний можно разложить на две волны с взаимно перпендикулярными направлениями колебаний частиц среды.

160