Теорема о классификации кривых второго порядка

подставляя

выражения

(14)

в уравнение

(1),

найдем

коэффициент 2a

'

при произведении x'

y'

. Он будет иметь вид:

12

2a '

= 2a

22

sin α cosα − 2a

sin α cosα + 2a (cos2 α −sin 2 α) =

12

11

12

= (a22

− a11 ) sin 2α + 2a12 cos 2α.

Так как по предположению a12

≠ 0, то взяв α так, что

cos 2α

= ctg2α =

a11 − a22

,

sin 2α

2a

12

получим 2a

'

= 0. Таким образом, уравнение (1) принимает вид

12

a

'

(x' )2

+ a

' ( y

' )2 + 2a

'

x' + 2a

20

' y'

+ a

00

= 0 .

(16)

11

22

10

Докажем теперь, что если в уравнении (16)

a

' ≠ 0 и

a

'

≠ 0 , то

11

22

члены с x'

и y'

можно исключить переносом начала координат. В

самом деле, преобразуем уравнение (16):

'

'

2

a

'

'

a '

2

(a

' )2

10

x

10

10

a11 (x )

+

2 a

'

+

a '

−

a

'

+

11

11

11

'

'

2

a

'

'

a

'

2

(a

' )2

( y )

+ 2

20

y +

20

−

20

+ a00

= 0 , следовательно,

'

'

'

+ a22

a22

a22

a22

'

'

a '

2

'

'

a

20

' 2

(a

' )2

(a

'

)2

10

10

20

= 0.

+ a

+

−

a

−

a

a11 x + a '

+ a22 y

22

'

a00

22

11

11

Совершим

параллельный

перенос

системы

координат

на

вектор

a '

a

'

−

10

,−

20

по формулам (15). Предыдущее уравнение примет вид

'

a

a

22'

11

a

'

X 2 + a

'Y 2

+ a

'

= 0 ,

(17)

11

22

00

X = x

'

+

a

'

,

a

'

= a

−

(a

' )2

−

(a

'

)2

,

10

10

20

a

'

00

00

a

a

22

11

11

'

'

a

'

2

'

'

a

20

'

2

(a ' )2

(a

'

)2

10

+

−

10

−

20

= 0.

+ a

+ a

a

a

a11 x

'

+ a22 y

22

'

a00

22

11

11

Если a ' ≠ 0, то член с x' можно исключить переносом начала

11

координат по формулам: x

'

= X −

a '

y

'

=Y . Получим

10

,

a

'

11

a

' X 2 + a

'Y 2

+ 2a

'Y + a

' = 0.

(18)

11

22

20

00

Замечание. Из уравнения (18)

следует,

что ось oy

является

Ax2 + By2 =1, где A = −

a11

,

B = −

a22

.

(19)

a00

a00

Здесь есть следующие возможности:

1) Пусть

A > 0, B > 0 . Тогда полагая, A =

1

,

B =

1

, уравнение (19)

a2

b2

приведем к виду

x2

+

y2

=1, т.е. кривая – эллипс.

a2

b2

2) Пусть

A < 0, B < 0 . Тогда равенство (19)

невозможно. Линия не

имеет ни одной вещественной точки. Полагая

A = −

1

,

B = −

1

,

a2

b2

уравнение (19) приведем к виду

x2

+

y2

= −1,

т.е.

кривая

–

a2

b2

мнимый эллипс.

3) Пусть A и B разных знаков.

Например,

A > 0, B < 0 .

Тогда

обозначим A =

1

,

B = −

1

. Уравнение (19) примет вид

x2

−

y2

=1.

b2

a2

b2

a2

II. Пусть a00 = 0 . Тогда уравнение (17) сводится к уравнению

a x2

+ a

22

y2

= 0 .

(20)

11

полагая

a

=

1

,

a

= −

1

, уравнение

(20)

принимает

вид

a2

22

b2

11

x2

y2

b

b

−

= 0,

т.е.

x

− y

x + y

= 0 .

Таким

образом,

кривая

a2

b2

a

a

распадается на пару пересекающихся прямых.

2)

Пусть

теперь a11 , a22

одного

знака.

Тогда

так же

полагая

a

=

1

,

a

=

1

,

уравнение

(20)

преобразуется

в

уравнение

22

11

a2

b2

x2

+

y2

= 0 .

Эта

кривая

представляет

собой

пару

мнимых

a2

b2

пересекающихся прямых.

Рассмотрим

теперь

уравнение

(18)

в

случае,

когда

a22

' ≠ 0 ,

a

' X

2 + a

'Y

2

+ 2a

'

X + a

00

' = 0 .

Пусть a

' = 0 . Разделим

обе

части

11

22

10

11

уравнения на a22

' ≠ 0 , получаем:

Y

2

a '

a '

(21)

+ 2 a22

'

X + a22

' = 0.

10

00

I.

Пусть a

' ≠ 0.

Запишем уравнение (21)

в виде

10

a10

'

'

Y 2

+ 2

X +

a00

= 0 . Совершим преобразование параллельного

'

2a

'

a

22

10

переноса системы координат по формулам:

X = x −

a '

,

Y = y и

00

2a

'

10

a '

обозначим p = − a22

' . В новой системе координат уравнение кривой

10

будет записано в

виде y2 = 2 px , то есть в

этом случае

кривая

Y

2

+

a00

'

= 0 . Запишем его для простоты следующим образом

a22

'

y2 + q = 0.

(22)

Рассмотрим следующие случаи:

1)

q < 0 .

Полагая,

что

q = −a2 ,

получаем из

уравнения

(22)

следующее

уравнение

y2 − a2 = 0, которое

определяет

пару

параллельных прямых с осью симметрии Ox .

2)

q = 0. Уравнение (22) принимает вид y2

= 0 , что определяет пару

совпавших прямых.

3)

q > 0. Положим

q = a2 . Тогда

равенство (22) невозможно, и

уравнение

y2 + a2 = 0 определяет

пару

мнимых параллельных

прямых.

Все возможные случаи нами разобраны. Итак, существует

девять типов кривых второго порядка.