Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

'6'6'Z • Приложение 2 j Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре

критической точки, то f\U есть отображение накрытия, но тогда по лемме Шварца / будет изометрией для гиперболической метрики, что невозможно, так как А — притягивающий цикл. •

Таким образом, А С P(f) и число притягивающих циклов ограничено числом критических точек, которое в свою очередь не превосходит 2d — 2.

Эта теорема имеет как практическое, так и теоретическое значение. Например,если f(z) = z^+ c имеет притягивающий цикл периода 100, то этот цикл легко можно представить в виде liirin^oo /п(0) — несколько миллионов итераций дадут достаточную точность. (Сравните этот объем вычислений с перспективой вычисления 1,27 х 1030 корней уравнения /1 0 0 (z) — z.)

Существует несколько хороших обзоров по рациональным отображениям сферы Римана, написанных в середине 80-х [80, 81], и ряд более современных обзоров [82, 83]. Так же, как и в случае ренормализации, современная теория фрактальной геометрии оформилась после публикации Денниса Сулливана [81], в которой было установлено соответствие между гиперболическимирациональными отображениямии клейновыми группами.

Отображение / является гиперболическим, если выполняются условия следующей теоремы.

Теорема Б.2.5. Следующие условия эквивалентны.

(1)Все критические точки f при итерациях стремятся к притягивающим циклам.

(2)Отображение / является растягивающим на своеммножестве Жюлиа. Это означает, что на сфересуществует конформнаяметрика р такая, что \f'(z)\p > 1 для всех z € «/(/)•

(3)Посткритическое множество и множество Жюлиа имеют нулевое пересечение(P(f) П«/(/) = 0).

Что касается интересующих нас фракталов Пуанкаре, то они являются полу гиперболическими, то есть нарушается условие (3) вышеприведенной теоремы, и соответствуют они фуксовым группам.

До 1998 года фракталы Пуанкаре не встречались в математической литературе как самостоятельные обьекты, заслуживающие тщательного рассмотрения. Они появлялись в неявном виде под названием NILF-гипотезы в следующем виде.

b.Z фракталы Пуанкаре • 333

Гипотеза. Рациональное отображение/ не допускает существования инвариантного линейного поля (No Invariant Linear Field) на своем множестве Жюлиа, за исключением того случая, когда f накрывается интегральным эндоморфизмом тора. Эта гипотеза была необходима для доказательства следующей теоремы Мане- Сада-Сулливана.

Теорема Б.2.6. NILF =*• HD (гиперболическая плотность рациональных отображений).

Привлекательность NILF-гипотезы заключается в том, что она смещает акцент исследования семейства всех рациональных отображений на эргодическую теорию единственного рационального отображения. Следует, однако, заметить, что эта гипотеза ничего не говорит о полугиперболических рациональных отображениях, то есть о фракталах Пуанкаре.

Инвариантное линейное поле для /, определенное на измеримом множестве Е С С, представляет собой одномерное вещественное подпространство Lz в касательном пространстве Т2С для всех z € Е таких, что:

(1)Е обладает положительной площадью;

(2)ГНЕ) =Е;

(3)наклон Lz изменяется измеримо по отношению к z;

(4)производная /' отображает Lz в Ь/(г) для всех z, принадлежащих Е.

Напомним, что линейное поле (или поле линейных элементов) — это локальный неориентированный вариант векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Если Е С J(f), то говорят, что отображение / допускает инвариантное линейное поле на его множестве Жюлиа. Таким образом, множество Жюлиа должно обладать положительной мерой для того, чтобы служить носителем инвариантного линейного поля.

Совсем недавно МакМюллен [85] дал определениегеометрически конечногорационального отображения.

Рациональное отображение / является геометрически конечным, если \P(f) П «7(/)| < оо или, что равносильно, если каждая критическая точка в множестве Жюлиа является предпериодической. Это условие исключает из рассмотрения диски Зигеля и кольца Эрмана,

334 • Приложение 2 / Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре

но допускает параболические циклы. Если / геометрически конечно, то J(f) = С или размерность Хаусдорфа множества Жюлиа меньше 2. Из сказанного следует,что фракталы Пуанкаре в широком смысле слова могут быть определены как множества Пуанкаре-Жюлиа, получаемые в результате итерирования геометрически конечных /.

Фракталы Пуанкаре в узком смысле представляют собой множества Пуанкаре-Жюлиа, получаемые в результате итерирования рациональной функции Пуанкаре /:

Эта функция легко может быть получена из теоремы сложения для р-функции Вейерштрасса [86]. Именно итерации этой функции при <?2 = 4, </з = 0 впервые рассматривались Латте [87]. На рис. Б.1 приведен фрактал Пуанкаре-Жюлиа, полученный итерацией по z функции /, при указанных значениях параметров дч, дг (пример Латте). На рис. Б.2, Б.З и Б.4 приведены изображения фракталов Пуанкаре для значений параметров: дч = 1, дз = 0 (лемнискатный случай), <?2 = —1, 5з = 0 (квазилемнискатный случай) и дч = О, дз = — 1 (квазиэвиангармонический случай).

Хотя пример Латте был известен уже давно и часто приводился в формулировке NILF-гипотезы, исследование функции Пуанкаре в современном понимании фрактальной геометрии началось с работы Эрмана [84]. Очевидно, что функция Пуанкаре геометрически конечна (полугиперболична), то есть:

а) пересечение множества Жюлиа с посткритическим множеством непусто; б) множество Жюлиа равно всей сфере Римана;

в) размерность Хаусдорфа множества Жюлиа меньше 2.

Фракталы Пуанкаре-Мандельброта получаются в результате итерирования функции Пуанкаре по параметрам д%, дз при постоянном значении г. На рис. Б.5 изображен фрактал Пуанкаре-Мандельброта при z = 1.

Характерным свойством фракталов Пуанкаре является то, что множество критических точек С содержит 6 точек, из которых три отталкивающие и три притягивающие, причем при каждой итерации они меняют свой характер на противоположный. Исследование фракталов Пуанкаре представляется заслуживающим внимания по

b.z ч*ракталы Пуанкаре

Рис. Б.1. Пример Латте. дг = 4,</з = О

двум причинам. Во-первых, функция Пуанкаре описывает двухпараметрическое аналитическое семейство и, следовательно, позволяет исследовать 2-универсальностъв отличие от 1-универсальности Фейгенбаума. Сценарий удвоения периодов р-функции Вейерштрасса позволяет поставить вопрос о нахождении оператора ренормализации в этом случае, а также в более широком контексте для конечногеометрических рациональных отображений.

Во-вторых, итерации функции Пуанкаре описывают динамику инволютивных псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей Клейна-Пуанкаре. Неклассические поверхности Клейна — это поверхности с краем и со сменой ориентации [88]. Поэтому интересно связать топологическое описание поверхностей Клейна-Пуанкаре со свойствами симметрии функции Пуанкаре. Если в первом направлении можно пока сделать только общие утверждения, что

336 • Приложение 2 j Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре

Рис. Б.2. Лемнискатный случай

в случае 2-универсальности основными инструментами исследования служат однолистные функции (вместо унимодальных в случае 1-универсальности), квадратичные дифференциалы и пространства Тейхмюллера поверхностей Клейна-Пуанкаре (отрицательность шварциана и в случае 2-универсальности по-прежнему играет важную роль), то по второму направлению можно сказать много больше.

Исследование свойств симметрии функции Пуанкаре было начато в [89]. На рис. Б.6 приведен начальный этап построения односторонней поверхности, основанный на принципе симметрии Шварца. Этот рисунок очень напоминает рисунки Морица Эшера, но на самом деле представляет собой компактное (точнее компактифицированное) многообразие неотрицательной кривизны, соответствующее поверхностям Клейна-Пуанкаре. Естественно задать вопрос: какой вид

338 • Приложение 2 / Теория ренормализации и фракталыПуанкаре

Рис. Б.4. Квазиэквиангармонический случай

альных пар образующих этой группы в виде дробно-линейных подстановок:

Сх = 1 - z , C2 =l - z

Существует еще топологически тривиальная пара Z H - Г . ПОД антиголоморфной инволюцией в данном случае понимается переход от z к —z. В результате компьютерной проверки на системе Maple было подтверждено, что при дробно-линейных подстановках аргумента z в указанных выше степенях функция Пуанкаре оставалась неизменной. Таким образом, функция Пуанкаре является инволютивномодулярной автоморфнойфункцией относительно действия группы М(0,4(4). Группа М(0,4|4) является полугиперболической и «непри-

Ь.2 Фракталы

Рис. Б.5. Фрактал Пуанкаре-Мандельброта, z = 1

чесываемой» (по выражению Уильяма Терстона). Группе М(0,4|4) соответствует так называемый BR(S) комплекс.

Пространство деформаций группы М(0,4|4) собственно и представляет собой пространство Тейхмюллера поверхностей КлейнаПуанкаре Ts- Оно накрывает пространство Клейна-Пуанкаре. В таком виде мы сталкиваемся с так называемой проблемой модулей, исследование которой начал Бернгард Риман в 1857 г.

Пространство модулей для группы М(0,4|4) и пространство Тейхмюллера представляют собой некомпактные полугиперболические многообразия, которые допускают компактификацию и сводятся к компактным полугиперболическим многообразиям и в итоге к BR(S) комплексу, который назовем комплексом типа Хэтчера- Терстона-Харера. С чисто математической точки зрения надо указать явную формулу для кэлеровой формы Вейля-Петерсона [90] на

340 • Приложение 2 / Теория ренормализации и фракталы Пуанка

Рис. Б.6. «Рисунок Морица Эшера»

Ts и доказать теорему о конечности объема Вейля-Петерсона пространства модулей проколотых инволютивных симметризованных бутылок Клейна.

С топологической точки зрения фракталы Пуанкаре являются вещественно-аналитическими уэйвлетами. Это следует из совместного использования системы образующих С\ —С% в качестве составляющих СИФ и теоремы Хатчинсона [92].