Kranover R M - Fraktaly i khaos v din sist

А.6 Быстрое преобразование Фурье • 323

По формуле (А.13):

А;=0

При п = 0,1,..., N/2 — 1 это немедленно приводит к формуле (А.14). Еслип € {N/2,...,N-1}, запишем п = N/2+j, j € {О,... ,N/2-1}.

Тогда

(Civ)n =(C

Подставляя эти выражения в (А.16), получаем (А.15).

Теорема А.6.19. Вычислительная сложность алгоритма БПФ в случае N = 2Р равна

ц = -Nlog2N.

Доказательство. Если ц(к) обозначает вычислительную сложность БПФ порядка к х к (к четное), то по теореме А.6.18:

к/2,

так как задача расщепляется на две подзадачи порядка к/2 х к/2, каждая из которых имеет вычислительную сложность ц(к/2), а дополнительные вычисления по формулам (А.14) и (А.15) требуют к/2 умножений. В алгоритме БПФ удается свести исходную задачу для N = 2Р к вычислению БПФ для N = 1. При N = 1 необходимо вычислить х\ = 1 • xi, что не требует умножений вовсе, поэтому fi(l) = 0. Формула, удовлетворяющая приведенному выше рекуррентному соотношению, имеет вид

Она безусловно верна при N = 1, и если она верна при N = к/2, что означает ц(к/2) = (l/2)(k/2)log2(k/2), то при N = к имеем

li(k) = 2ц(к/2) + к/2 = 2[(1/2)(*/2) log2(£/2)] + к/2 = (1/2)* log2 к.

Таким образом, эта формула верна при всех N вида 2Р. ш

324 • Приложение 1 j Дополнительные сведения из анализа

Так как для вычисления БПФсуществует хорошее программное обеспечение, то у читателя вряд ли возникнет необходимость самостоятельно программировать алгоритм БПФ. Нашей целью было пояснить математические аспекты алгоритма.

326 • Приложение 2 / Теория ренормализации и фракталы Пуанкаре

теряет устойчивость и порождает устойчивую орбиту периода два, которая в свою очередь теряет устойчивость и порождает устойчивую орбиту периода четыре и т. д. М. В. Якобсон [70] первый доказал существование таких каскадов в простом аналитическом семействе. Фейгенбаум в своей работе 1978 г. с помощью численных методов (на микрокалькуляторе!) независимо определил асимптотическую скорость сходимости бифуркационных значений для квадратичного семейства и обнаружил (совместно с П. Цвитановичем) явление подобия с изменением масштаба, связанное с этим процессом. Наблюдения Фейгенбаума были доказаны в работах О. Лэнфорда и М. Кампанино, А. Эпштейна с помощью ЭВМ. Состояние теории ренормализации, опирающейся на доказательства, полученные с помощью вычислений на ЭВМ, подробно описано в обзоре [71]. Очень хорошее описание сценария Фейгенбаума для квадратичного семейства содержится в статье Каданова [72], а мини-исследование по логистическому отображению с помощью математического пакета Maple [59] можно рекомендовать в качестве упражнения для получения бифуркационной диаграммы на ЭВМ.

Собственно математическая теория ренормализации со своей проблематикой и строгими доказательствами оформилась после появления статей А. Дуади и Дж. Хаббарда и Д. Сулливана [73] в середине 80-х, когда идеи голоморфной динамики, теории Тейхмюллера и гиперболической геометрии проникли в эту область. Современное состояние этой теории отражено в книгах Кертиса МакМюллена [76] и [77].

Ренормализация представляет собой поиск локальной полиномиальной модели динамики. Рассмотрим эту ситуацию подробнее в контексте квадратичных полиномов.

Пусть f(z) = z2 + с, где с принадлежит множеству Мандельброта. Итерации /(") ренормализуемы, если существуют диски U и V, содержащие начало координат, причем V является компактным подмножеством V, такие, что (а) /(") : U —> V есть отображение второй степени и (б) f(nk\Q) € U для всех к > 0. Это означает, что, хотя /(") является полиномом степени 2™, но в подходящей окрестности критической точки z — 0 оно ведет себя как полином второй степени. Отображение /(") : U —> V называется подобным квадратичному. Фундаментальная теорема Дуади и Хаббарда (1985 г.) утверждает, что отображение, подобное квадратичному,

Б.1 Теория ренормализации • 327

топологически сопряжено с квадратичным полиномом g(z) = z2 +d; условие (б) означает, что d принадлежит множеству Мандельброта М и приподходящих нормализациях единственно.

Концепция ренормализации говорит многое о самоподобиимножества Мандельброта и бифуркационной диаграммы (рис. 6.9 в основном тексте) для вещественных квадратичных полиномов.Например, при увеличении белой полосы в окрестности с = —1,75487...

(так называемого окна периода 3) бифуркационной диаграммы мы наблюдаем ровно три малые копии полной бифуркационной диаграммы. Этообъясняется тем,что /(3) ренормализуемо для всех значений с в этом окне. По мере того как с пересекает это окно, отображение fc:Uc—*Vc воспроизводит полное семейство бифуркаций квадратичного полинома. В множестве Мандельброта также можно наблюдать малую гомеоморфную копию Л4 в обрамлении при с, принимающем значения в этом окне на вещественнойоси.

Сказанное выше наглядно поясняет название статьи Ли и Йорка «Период три означает хаос» [29] и связывает универсальность Фейгенбаума с периодичностью Шарковского. Каскады с удвоением периода обнаруживаются и в других вещественных динамических системах (например, в экспоненциальном семействе, рассмотренном впервые М. В. Якобсоном). Собственно, в работах Фейгенбаума и Колле и Трессе [75] было предложено обьяснение универсального законамасштабирования в однопараметрических семействах унимодальных отображений в терминах существования гиперболической неподвижной точки F оператора ренормализации И с одномерным неустойчивым многообразием.

Следующий важный шаг был сделан в работе Йоккоза в начале 90-х. Эта работа установила комбинаторную жесткость всех квадратичных отображений, которые являются «по крайней мере конечно ренормализуемыми». Доказательство основывается на мощном техническом приеме, который носит названиеголоволомка-мозаика (puzzle). Подробнее об этой технике можно прочитать в первой книге МакМюллена [77].

Бесконечная ренормализуемость. Квадратичный полином / является бесконечно ренормализуемым, если /(") ренормализуемо для бесконечно многих п > 1.

Основным примером бесконечной ренормализуемости отображения служит полином Фейгенбаума f(x) = х2 — 1,401155... В этом

328 • Приложение 2 / Теория ренормализации и фракталы Пуанка

случае отображение fW является подобным квадратичному. Из этого следует, что /(2") ренормализуемо при любом п > 1. Аттрактор этого отображения (аттракторФейгенбаума):

Ас = {предельные точки /^п^(0) при п —• со}.

Аттрактор Фейгенбаума обладает универсальным свойством масштабирования, которое физики ассоциируют с фазовыми переходами, исследуемыми уже не первое десятилетие [73].

Теорема Йоккоза формулируется следующим образом [83].

Теорема Б.1.1. Пусть f(z) = z2 + с, с € М (М — множество Мандельброта). Тогда возможны два варианта:

а) / бесконечно ренормализуемо;

б) J(f) не допускаетинвариантного поля направлений (по invariant line field), a M локально связно в точке с.

Доказательство теоремы приведено в [77]. Обычно при доказательстве теоремы Йоккоза используется техника головоломкимозаики для f(z) = z2 + i.

Оператор ренормализации. Рассмотрим вещественно-аналити- ческое унимодальное отображение отрезка в себя /:/ — •/ . Непрерывное отображение отрезка в себя называется унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума со и по обе стороны от нее отображение является строго монотонным. Д. Зингер [61] показал, что у отображений / отрезка в себя, удовлетворяющих условию отрицательности производной Шварца 5/ < 0, каждая устойчивая периодическая траектория притягивает либо траекторию одного из концов отрезка, либо траекторию некоторой критической точки с, то есть такой точки, в которой /'(с) = 0. (Производной Шварца функции / € С3 называется 5/ = у?— If/7 ") )* Отображение / является

подобнымквадратичному,если f{dl) С д1 и / имеет единственную квадратичную критическую точку CQ€ int(J). Основным примером служит f(x) = х2 + с на [—а, а] с /(о) = а. Мы неявно отождествляем линейно сопряженные отображения.

Если итерация f^\L также является квадратичноподобной для некоторого интервала L я с € L С I, то в этом случае мы можем определить ренормализацию / как

Таким образом, количественные характеристики аттрактора Р(/) (такие, например, как его размерность Хаусдорфа) определяютсяего комбинаторикой т(/).

Сулливан [74] установил сходимость Hnq(f) —•F. Другой подход к теории ренормализации, основанный на таких понятияхкак негибкость и башни, рассматривается во второй книге МакМюллена [76] и егостатьях. В частности, в статье [78]приведены операторы ренормализации для гиперболических многобразий, критических отображений окружности и длядиска Зигеля с золотым сечением.

Б.2. Фракталы Пуанкаре

Рассмотрим раздел фрактальной геометрии, который имеет дело с голоморфными динамическими системами специального вида, а именно с рациональными отображениями. Рациональное отображение / : С —*С является голоморфной динамической системой на сфере Римана С = С Uоо. Каждое такое отображение может быть записано в виде отношения

сло прообразов типичной точки z, или же максимальная степень d = max(degP, degQ). Основной задачей в динамике рациональных отображений является изучение поведения итераций

п раз

Любое рациональное отображение степени d > 1 (именно такие отображения рассматривали Фату и Жюлиа) обладает свойствами как растяжения, так и сжатия. Например, / должно быть растягивающим в среднем, так каконо отображает сферу Римана насебя d

В.2 ФракталыПуанкаре • 331

раз. Разумеется, по отношению к сферической метрике (нормализованной так, чтобы общая площадь равнялась единице),

/||(/( п ) )'112 = оо,

так что производная от /'") имеет в среднем очень большую величину. С другой стороны, / обладает 2d —2 критическими точками с, в которых /'(с) = 0. В окрестности с поведение / подобно г н г " в окрестности нуля при некотором п > 1, то есть / — сильно сжимающее около с. Эти два обстоятельства и отвечают за сложность динамики рациональных отображений.

Чтобы описать эти свойства /, используется множество Жюлиа — область хаотической динамики и посткритическое множество Р(/), которое содержит «аттракторы» /. Множество Жюлиа может быть определено как замыкание множества отталкивающихпериодических точек /. Точка z является периодической, если f^p\z) = z

при некотором с.> 0; она является:

отталкивающей, если \(f^)'(z)\ > 1; нейтральной, если \(/^)'(г)\ = 1; притягивающей, если |(/^)'0г)| < 1.

Прямая орбита (то есть траектория точки z при итерациях в прямом направлении) O+(z) периодической точки называется циклом, так как f\O+(z) является циклической перестановкой.

Множество Жюлиа, кроме того, является наименьшим замкну-

и является наибольшим открытым множеством таким, что итерации

(f(n)\F(f)) образуют нормальное семейство [79]. Посткритическое множество P(f) является замыканием прямых орбит критических точек / (см. п. 1).

Посткритическое множество играет решающую роль по отношению к аттракторам /, что видно из следующей теоремы.

Теорема Б.2.4. Каждый притягивающий цикл А притягивает критическую точку с.

Доказательство. Пусть U = {z : d(f(n\z),A) —»• 0} в сферической метрике; U открыта и f~l(U) = U. Если U не содержит ниодной