Тема 3.6. Центр линии второго порядка. Касательная

Литература: [1], гл. 17, § 4-6, стр. 440–448; [7], гл. 4, § 33,34, стр. 114–119.

Основные сведения

Лемма: Дан вектор неасимптотического направления линии второго порядка, заданное уравнением

.

Для того чтобы точка была серединой какой-нибудь хорды, параллельной вектору, необходимо и достаточно, чтобы.

Теорема 1. Для того чтобы точка была центром линии второго прядка, заданного уравнением, необходимо и достаточно, чтобы пара чиселбыла решением системы:

Теорема 2. В каждой обыкновенной точке линии второго порядка существует одна и только одна касательная. Если линия задана общим уравнением, то касательная в точкеэтой линии имеет уравнение:

Вопросы для повторения

1. Что называется центром линии второго порядка?

2. Сколько центров может иметь линия второго порядка? Обоснуйте ответ.

3. Какие линии второго порядка называются центральными? Приведите примеры центральных и нецентральных линий второго порядка.

4. Что можно сказать о центрах линий второго порядка, уравнения которых отличаются только свободными членами?

5. Может ли линия второго порядка, заданная уравнением не иметь центров?

6. Какие точки называются особыми? Назовите все линии второго порядка, которые: 1) не имеют особых точек; 2) имеют только одну особую точку; 3) имеют более одной особой точки.

7. Все линии параболического типа являются нецентральными. Верно ли обратное утверждение?

8. Сформулируйте определение касательной к кривой второго порядка. Покажите касательную на чертеже в конкретном случае. Какие различные определения касательной к кривой вам известны?

9. Какой вид примет уравнение касательной к эллипсу (гиперболе, параболе), если она задана каноническим уравнением?

10. Может ли линия второго порядка иметь с некоторой прямой: 1) не менее двух точек касания; 2) только две точки касания?

11. Сформулируйте оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы. Выполните соответствующие чертежи.

Задачи

1. Найти множество центров линии второго порядка, заданных уравнениями:

1) ; 2);

3) ; 4).

2. Написать общий вид уравнения линии второго порядка, имеющей хотя бы один центр, совпадающий с началом координат.

3. Написать уравнение линии второго порядка, если ее центр совпадает с точкой C(0,–1), линия проходит через точку M(3,0) и пересекает каждую из прямых лишь в одной точке.

4. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в общем уравнении линии второго порядка, чтобы ось OX была ее линией центров?

5. Доказать, что если кривая второго порядка имеет линию центров, то она распадается на пару параллельных или совпавших прямых.

6. Доказать, что линия второго порядка, имеющая особую точку, является распадающейся.

7. Доказать, что если вершины параллелограмма лежат на линии второго порядка, то центр параллелограмма является центром линии второго порядка.

8. Написать уравнения касательных, проведенных через точку A(–2,1) к линии, заданной уравнением .

9. Написать уравнения асимптот гиперболы:

.

Задачи повышенной трудности

1. Написать общее уравнение линии второго порядка, если она касается оси абсцисс в начале координат.

2. Написать уравнения общих касательных двух эллипсов, заданных уравнениями.

3. Найти множество точек плоскости, из которых эллипс (гипербола, парабола) видны под прямым углом.

Домашнее задание

1. Написать уравнение параболы, касающейся оси абсцисс в точке A(3,0) и оси ординат в точке B(0,5).

2. Доказать, что в параболу нельзя вписать параллелограмм.

3. Линия второго порядка проходит через точки A(0,1), B(1,0), O(0,0) и симметрична относительно точки C(2,3). Написать уравнение касательной к этой линии в начале координат.

4. Написать уравнения тех касательных к линии, заданной уравнением , которые параллельны прямой.