[Править] Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

• Областью значений функции , непрерывной на отрезке, является отрезокгде минимум и максимум берутся по отрезку.

• Если функция непрерывна на отрезкеито существует точкав которой.

• Если функция непрерывна на отрезкеи числоудовлетворяет неравенствуили неравенствуто существует точкав которой.

• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

• Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концамии.

• Если функции инепрерывны на отрезке, причемито существует точкав которойОтсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы однунеподвижную точку.

12. Асимптоты вертикальные и горизонтальные.

Вертикальные асимптоты

   Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Некоторые особенности поведения функции в окрестности вертикальных асимптот представлено на рисунке.    Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода В этом случае f( x₀ ± 0) = ± ∞, или f ( x₀ ± 0) = + ∞ , или f (x₀ ± 0) = − ∞.    Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности точки разрыва. Например, на рис. 8.2 приведён график элементарной функции

. Рис. 8.2. Точка разрыва второго рода для данной функции определяется только справа

Горизонтальные асимптоты

   Если

,

то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при хстремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны).

Рис. 8.3. Примеры горизонтальных двухсторонних и односторонних асимптот

13. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Комплексным числомzназывается пара (x,y) действительных чиселxиy. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁= (x₁,y₁) иz₂= (x₂,y₂) называютсяравными, еслиx₁=x₂иy₁=y₂;

2) суммойкомплексных чиселz₁иz₂называется комплексное числоzвида

z= (x₁+x₂,y₁+y₂);

3) произведениемкомплексных чиселz₁иz₂называется комплексное число

z= (x₁x₂-y₁y₂,x₁y₂+x₂y₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чиселR.

Разностьюкомплексных чиселz₁иz₂называется комплексное числоzтакое, чтоz₂+z=z₁, откуда находимz=z₁-z₂= (x₁-x₂,y₁-y₂).

Частнымкомплексных чиселz₁иz₂называется комплексное числоzтакое, что. Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i= (0, 1). Тогда, т. е.i²= -1. Произвольное комплексное числоzможно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формойкомплексного числа. Комплексное числоназываетсясопряженнымпо отношению к комплексному числуz= (x,y) =x+iy.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть . Положим,.  Из рисунка очевидно, что

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа.