Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть 1_2507

.pdf

Скачиваний:

784

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

784.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Вычислить вероятности попадания случайной величины X в интервалах

(1,5; 2,5) и (2,5; 3,5).

Решение. По определению функция распределения вероятностей случайной

величины X является вероятностью события X < x:

НИ

F(x) = P(X < x).

ка

Поскольку

P(X < β) = P(X < α)

+ P(α ≤ X < β),

то P(α ≤ X < β) = F(β)−F(α).

Вычислим значения функции распределения:

F(1,5) = (1,5−1)/2 = 0,25,

F(2,5) = (2,5−1)/2 = 0,75,

F(3,5) = 1.

Тогда

P(1,5 <X <2,5) = 0,75−0,25 = 0,5;

P(2,5 <X <3,5) = 1−0,75 = 0,25.

Ответ: 0,5; 0,25.

Пример 4. Случайная величина X задана функцией распределения

0, при

x < 0,

0 < x £ 1,

F(x) = íx ,при

1, при

x > 1.

Найти вероятность того, что в результате четырех испытаний случайная

величина X ровно три раза приметая

значения из интервала (0,3; 0,7).

Решение. Случай ая величина X равномерно распределена на отрезке [0,1]. Для

решения задачи приме яется схема Бернулли из четырех испытаний с

вероятностью успеханв одном испытании, равном p. Успехом в одном испытании

будет попадание значения случайной величины X в интервал (0,3; 0,7). Найдем p:

p = P(0,3<X<0,7) = F(0,7)-F(0,3) = 0,7−0,3 = 0,4.

По формуле Бернулли:

P (3) = C3

(0,4) ·0,6 = 0,1536.

Ответ: 0,1536.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

10.2.Числовые характеристики

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Математическое

M (x)

∞

ожидание

= ò xf (x)dx

M (x) = ò xf (x)dx

−∞

Дисперсия

∞

D(x)

НИ

D(x) = ò x2 f (x)dx - [M (x)]

= ò x2

f (x)dx - [M (x)]

−∞

Среднее

σ (x) = D(x)

квадратичное

отклонение

Начальный

αk

∞

xk f

(x)dx

αk

xk f

(x)dx

теоретический

момент порядка k

−∞

ка

Центральный

∞

теоретический

μk

= ò [X − M (X )] f (x)dx

= ò [X

− M (X )]

f (x)dx

μk

момент

−∞

Пример 5.

Случайная величина X задана плотностью вероятности

f (x) = x / 2

в интервале

(0;2), вне этого интервала f (x) = 0.

Найти M (x).

Решение.

∞

M (x) = òxf (x)dx.

Имеем

−∞

M (x) = ò x ×

xdx =

Ответ:

2 ×3

Пример 6.

Случайная

величина X

з д на в интервале (0;p)

плотностью

вероятности

f (x) = 0,5sin x . Вне этого интервала

f (x) = 0. Найти D(x).

ая

∞

f (x)dx

- [M (x)]

Решение. Воспользуемся формулой D(x) = ò x

−∞

x = u, dx = du

M (x)= ò xf (x)dx =

ò x sin xdx

sin xdx = dv, v = - cos x

- cos x

ò сosxdx÷

(- π cosπ + sin π )=

D(x) =

π ö

sin xdx - ç

- 2 , т.к.

2 ø

π 2

Ответ:

π 2

- 2 .

ò x

sin xdx =

- 2

Пример 7.

f (x)= 0,5x в

Случайная величина X задана плотностью

распределения

интервале (0;2), вне этого интервала

f (x) = 0.

Найти центральные

моменты

первого, второго, третьего и четвертого порядков.

НИ

Решение. По формуле αk

f (x)dx .

= ò xk

Найдем начальные моменты:

ка

α1

= ò x × 0,5xdx = 0,5

;

0,5x

α2

= ò x2 × 0,5xdx =

= 2;

α3

= 2

x3 × 0,5xdx =

0,5x5

= 3,2;

α4

= ò2

x4 × 0,5xdx =

0,5x6

Найдем центральные моменты:

μ1

= 0

ö2

μ2 = α2 -α1

= 2 - ç

æ 4

μ3

= α3

- 3α1 ×α2 + 2α1

= 3,2 - 3×

× 2 +

2 ×ç

= -

135

бè 3

æ 4

ö4

μ4

= α4

- 4α1α3 + 6α1

α2

- 3α1

- 4

×3,2 + 6 ×

× 2

- 3

135

è 3

Или так

ая

μ(x)= α1

ö2

μ2

= ò

ç x

xdx

о×

ö3

μ3

= ò

ç x

xdx = -

135

т-

μ4

ö4

= ò

ç x

xdx =

135.

Ответ: 0;

;

135

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Задания для самостоятельной работы

1. Случайная величина X имеет плотность вероятности

ì0, если

x £ 0

НИ

ï1

f (x) = í

sin x, если 0 < x £ π ,

x > π

ï0, если

Найти функцию распределения вероятностей.

2.Случайная величина X задана плотностью вероятности

f (x) =

в интервале

(0;4). Вне этого интервала f (x) = 0.

Найти M (x).

ка

3. Случайная величина X задана плотностью вероя носе

Ответ:

f (x) = -

+ 6x -

на (3;5). Вне интервала f (x) = 0.

(x).

Найти M

Ответ: 4.

f (x) =

х ö

4. Случайная величина X задана плотностью вероятности

на

0,25sinç

2 ø

(0;2π ). Вне этого интервала f (x) = 0.

Найти дисперсию величины X.

Ответ: π 2 - 8 .

5. Случайная величина X задана

плотностьюб

вероятности f (x) = 0,5cos x

на

;

π ö

. Вне интервала f (x) = 0. Найти D(x).

ç-

2 ø

ая

Ответ: π 2

- 2

6. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

ì0,

x £

f (x) = íï2x - 2, 1 < x £ 2,

x > 2

î0,

Что вероятнее: попада ие случайной величины в интервал (1,6;1,8) или

(1,9;2,6)?

Ответ: (1,6;1,8).

7.Задана пло ность распределения

f (x) = íì0,1 x Î[0;10] . Найти D(x), M (x).

î0, при

x Ï[0;10]

Ответ: 5;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

8.Случайная величина X задана

плотностью

распределения

f (x) = 2x в

интервале

(0;1);

вне интервала

f (x) = 0. Найти

начальные

центральные

моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Ответ: α1

;α2 = 0,5;α3

= 0,4;α4 =

;μ1 = 0;μ2 =

; μ3

= -

;μ4

135

ì0,

НИ135

x £ 0;

9. Случайная величина X задана

F(x) = íïx2 ,

0 < x £ 1,

x > 1

î1,

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний

величины X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу

(0,25;0,75).

каОтвет: P4 (3) = 0,25 .

10. Плотность распределения случайной величины

x £ 0

2 , 0 p x £ 1,

f (x) = í2x

x f 1

Найти D(x) .

Ответ: 0,15.

§ 11. Распределения случайных величин

11.1. Дискретные распределения

Распределение

Математическое

Дисперсия

ожидание

Биномиальное

M (x) = np

D(x) = npq

P(x = m) = Cn m pm qn−m

Пуассона

λm ×е−λ

ая

M (x) = λ

D(x) = λ

P (x = m) =

,λ = np

Геометрическ е

M (x) =

D(x) =

P(x = m) = qm−1 × p

Пример 1.

20% изделий, выпускаемыхр

данным предприятием, нуждаются в дополнительной

регулиров е. Наудачу отобрано 150 изделий. Найти среднее значение и дисперсию

с.в. X – числа изделий в выборке, нуждающихся в регулировке.

Реш ние с.в. X – имеет биномиальное распределение. Используя формулы:

M (x) = np, D(x) = npq при n=150, p=0,2, q=0,8 находим:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

M (x) = 150×0,2 = 30

D(x) = 150 ×0,2 ×0,8 = 24

Пример 2.

Ответ: 30; 24.

Проверяется партия из 10000 изделий. Вероятность того, что изделие окажетсяНИ

бракованным, равна 0,002.

Найти M (x)

и D(x)

числа бракованных изделий в этой

партии.

Решение. n=10000(велико),

p=0,002

(вероятность мала),

поэтому

с.в. X –

распределена по закону Пуассона:

ка

P (x = m) = λm ×е−λ

,λ = np

λ =10000 × 0,002 = 20; M (x)= λ = 20

D(x)= npq =10000× 0,002 × 0,998 = 19,96 » 20

Ответ: 20; 20.

Пример 3.

Производится стрельба по цели до первого попадан я. Вероятность попадания при

каждом выстреле 0,2. Найти M (x) и D(x)

- числа произведенных выстрелов, если:

а) стрелять можно неограниченно;

б) в наличии есть всего 5 патронов.

Решение. а) с.в. X имеет геометрическое распределениел

ее

ряд распределения

имеет вид

….

M (x)

, D(x) =

q2 p

….

0,8

Следовательно, зная, что p=0,2 и q=0,8, имеем: M (x) =

= 5

D(x) =

= 20

0,2

б) ряд распределения имеет вид

0,04

ая

M (x)=1× p + 2 × qp +

3 × q2 p

+ 4q3 p + 5q4

= 0,2 + 0,32 + 0,384 + 0,4096 + 2,048 = 3,3616

D(x)= M (x

2 )-р[M (x)]2

= 0,2 + 0,64 + 1,152 + 1,6384 +10,24 - (3,3616)2 »13,8704 -11,3 = 2,5

Ответ: а) M

(x) =5 D(x)=20; б) M (x)=3,3616

D(x)=2,57.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

11.2. Непрерывные распределения

Ч.х.

равномерное

нормальное

показательное

x a

/ 2

−λx

, x Î[ab]

×е−(

−

)

íλе , x ³ 0

f (x) =

íb

- a

[ab]

σ 2π

î0, x < 0, λНИ> 0

ï0, x Ï

M (x) =

a + b

D(x) =

(b - a)2

σ 2

λ2

σ (x) =

b - a

ка

β - a ö

æα - a ö

P(a,b) = е−λa - е−λb

P(a, b)= ò f (x)dx

P(α, β ) = Fç

- Fç

è σе

Пример 4.

С.в. X распределена равномерно на [1;6]. Найти математическое ожидание,

дисперсию и среднее квадратичное отклонение веи

ичины.

Решение.

M (x) =

1+ 6

= 3,5

D(x) = (6 -1)2 :12 =

ая

σ (x) =

Ответ: μ(x) = 3,5 :

D(x) =

Пример 5.

среднее квадратичное отклонение,

нормально

Математическое

ожида ие и

распределенной величи ы X соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность

того, что с.в. примет значение, заключенное в интервале (14; 16).

Решение. M (x) = 12

(x) =

-12

14 -12

æ16

P(14 < x <16)= Fç

- Fç

÷ = F(2)- F(1)= 0,4772 - 0,3413 = 0,1359

Ответ: 0,1359.

Пример 6.

Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Решение. M (x) = λ1 ; D(x) =		λ12				НИ
F( ) = íì0, x £	0
1- е−0,1x , x > 0
î					Г
Найти M (x)	и D(x).
				А
По условию	λ = 0,1 следовательно, M (x) = 10, D(x) = 100.			А
По условию	λ = 0,1 следовательно, M (x) = 10, D(x) = 100.		ка	Ответ: 10; 100.
Задания для самостоятельной работы			ка
Задания для самостоятельной работы

1. Найти среднее число лотерейных билетов, на которые вып дут выигрыши, если приобретено 20 билетов, а вероятность выигрыша одного билета равна 0,1. Найти

дисперсию числа успехов.

Ответ: 2; 1,8.

2. Проводится три независимых испытания, в каждом еиз которых вероятность

наступления некоторого события постоянна и равна P. ПустьX –число появлений

события А в этом опыте. Найти D(x), если

M (x) = 2,1.

Ответ: 0,63.

3. Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона с

параметром a=0,324. Найти M (x)

и σ (x).

Ответ: 0,324; 0,569.

4. В магазин отправлены 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что

той,бравна 0,002.

при перевозке бутылка окажется разб

Найти:

а) среднее число разбитых бутылок;

ая

б) вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

5.Игрок

Ответ: а) 2, б) 0,323.

покупает

лотерейные

билеты

до первого

выигрыша.

Вероятность

(x), где с.в.X- число купленных билетов,

выигрыша по одному билету 0,1. Найти M

если игрок может купить: а) только 4 билета; б) неограниченное число билетов.

Ответ: а) 3,439 б)10.

Случайная

величи а X

распределена

равномерно

на [0;4]. Найти функцию

распределения, M (x) и σ (x).

Ответ: M (x)=2; σ (x)=

7.Матема ическое ожидание нормально распределенной случайной величины X

равно M (x)=5,

рD(x) = 9. Написать выражение для плотности распределения.

Случайнаят

величина

X задана

функцией распределения

вероятностей

(x) =

ì0,

сли

x £ 0

−0.4x , если

x > 0

Найти Mе(x); σ (x).

Ответ: M (x)=2,5; σ (x)=

6,25

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

9. Найти вероятность попадания случайной величины Т, имеющей показательное распределение

f (t) = íì0, если

t £ 0

в интервале (4; 10).

0,2е−0,.2t , если

t > 0

Ответ:

P(4;10)НИ= 0,314.

10. Найти D(x) и σ (x) показательного закона, заданного функцией распределения

F(x) = 1- е−0.,4x (x ³ 0).

Ответ: D(x)=6,25; σ (x)=2,5.

ка

11.Вероятность того, что радиолампа безотказно проработает сутки, равна 0,99.

Какова вероятность того, что она проработает год (364 дня).

Ответ: 0,0258.

12.

Вероятность

того, что топливный

насос

трактора проработает

до 2500

моточасов, равна 0,9. Какова вероятность того, что насос проработает 6000

моточасов.

Ответ: 0,78.

13.Успеваемость студентов первого курса составляет 80%/ Найти математическое

ожидание и

дисперсию

числа

студентов среди

наудачу

успевающих

отобранных первокурсников.

Ответ: 50; 8.

14. Стрельба по мишени ведётся до второго попадания. Найти М(Х) , где с.в. Х –

число попаданий, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,25.

Ответ: 8.

15.

Случайная

величина

Х подч нена

бнормальному закону распределения с

параметром распределения а = 0 . Вероятность попадания случайной величины в

интервал (−0,3; 0,3)

равна 0,5. Найти среднее квадратичное отклонение σ .

16.

ая

Ответ: 0,44.

Случайная

величина

Х подчинена нормальному закону распределения с

параметрами

а = 300,

σ = 100

Найти

вероятность попадания

интервал

(200;400).

Ответ: 0,6826.

17. В течение часа

а ста цию скорой помощи поступает случайное число Х

вызовов,

распределённыхн

по закону Пуассона с параметром λ = 2 . Найдите

вероятность того, что в течение часа поступит: а) ровно три вызова; б) не

более трёх выз нв в; в) не менее трёх вызовов.

Ответ: а) 0,18044; б) 0,85709; в) 0,81956.

18. Число вызовов,

поступающих на АТС каждую минуту, распределено по

параметром λ = 1,5 . Найти вероятность

того, что за

закону Пуассона

минуту поступит: а) ровно три вызова; б) хотя бы один вызов; в) менее пяти

вызовов.

Ответ: а) 0,12551; б) 0,77687; в) 0,98143

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 12. Системы случайных величин

НИ

12.1. Законы распределения двумерной случайной величины

Определение.

Двумерной называют случайную величину (X ;Y ), каждое возможное появление

которой представляет собой пару чисел

(X ;Y ).

ка

Случайные величины

и Y ,

рассматриваемые совместно,

образуют систему

двух случайных величин.

Общей

характеристикой

двумерной

случайной

величины

является функция

распределения

вероятностей,

которая

представляет собой

вероятность события

(X < x,Y < y):

F(x, y) = P(X < x,Y < y).

Для дискретной с.в. распределение может бы ь заданое

виде таблицы

распределения, в которой каждой паре значений (xi

)(i = 1,2,...n; j = 1,2,...m)ставится в

соответствие вероятность появления этой пары P(X = xi ,Y = y j ).

Функция

распределения

вероятностей

непрерывной

случайной

величины

выражается

через

двумерную плотностьи

вероятности

по

формуле:

F(x, y) = ò

ò f (xy)dxdy ,

−∞

∂ 2 F(x, y)

f (x, y) =

где

∂x∂y

- двумерная плотность.

F(x1 y

2 ) ³ F(x1 y1 ), y2 > y1 ая

−∞ −∞

Свойства.

Функция распределения

Плотность распределения

0 £ F(x, y) £ 1

f (x, y) ³ 0

F(x2 y1 )³ F(x1 y1 ), x2 > x1

∞

ò f (x, y)dxdy = 1

F(− ∞, y) =

0; F(x,−∞) = 0

F(x, y)=

x y

f (u,ν )dudν

ò ò

F(- ¥,-¥) = 0; F(¥,¥) = 1

−∞ −∞

F(x,¥) = F1 (x), F

(¥, y) = F2 (y)

Вероятнос ь совместного появления пары дискретных случайных величин (xii yj )

можно

записа ь

виде

P(xi y j

)= P(xi

)× P(y j / xi )= P(y j )× P(xi

/ y j ), где

P(y j

), P(xi

/ y j ) - условные вероятности.

/ xi

Для н пркрывных с.в. плотность вероятности записывается в виде:

f (x, y) = f (x)× f (y / x) = f (y)× f (x / y).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.201527.72 Кб18ХХ5.docx
#
15.05.201525.72 Кб19ХХ6.docx
#
15.05.201527.57 Кб17ХХ7.docx
#
15.05.201515.28 Кб11ХХ8.docx
#
15.05.201519.57 Кб18хх9.docx
#
15.05.2015784.49 Кб784Часть 1_2507.pdf
#
15.05.2015832.09 Кб33Часть 2_2507.pdf
#
10.11.201977.31 Кб23шевелева 1.doc
#
16.04.201996.9 Кб18шпора по эконом.теории.docx
#
25.04.2019247.81 Кб20шпора соц.труда.doc
#
24.04.2019479.23 Кб21шпоры гидромаш.doc