Часть 1_2507

Пример 3.

Электрический прибор может работать в двух режимах: нормальном и

ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы

прибора; ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t

НИ

в нормальном режиме равна 0,1, а в ненормальном – 0,7. Найти вероятность

выхода прибора из строя за время t.

А

Г

Решение. Введем следующие обозначения:

ка

А = {прибор вышел из строя за время t},

H1 = {прибор работал в нормальном режиме},

H2 = {прибор работал в ненормальном режиме}.

События H1 и H2 несовместные и образуют полную группу событий, вместе

е

с одним из которых происходит событие А. Вероя нос ь события А найдем по

формуле полной вероятности:

о

т

P (A) = P (H 1

)

PH1

(A ) + Р (H 2) РH2

(A) = 0,8×0,1+ 0,2×0,7 = 0,22.

л

и

Ответ: 0,22.

Пример 4.

испытаний было

безотказного

Во время

установлено, что вероятность

б

срабатывания реле при отсутствии помех равна 0,99, при перегреве – 0,95, при

вибрации 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Найти вероятность

P

отказа этого

и

1

реле при работе в жарких странах (вероятность перегрева равна 0,2, вероятность

вибрации 0,1) и вероятность P2

б

отказа при работе в передвижной лаборатории

(вероятность перегрева 0,1, вероятность вибрации 0,3), предполагая перегрев и

вибрацию независимыми событиями.

Решение. Введем в рассмотрение события

А = {вибрация реле},

ая

н

В = {перегрев реле},

н

С = {отказ реле при работе в жарких странах},

D = {о каз

о

еле в передвижной лаборатории}.

События

р

B =

к

т

,

B = AB ,

B =AB,

AB

B = AB ,

1

л

е

2

3

4

31

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

НИ

образуют полную группу несовместных событий; вместе с одним из них

происходят события С и D, вероятности которых можно найти по формуле полной

вероятности:

Г

P1 = P(C) = P(B1)P(C / B1 )+ P(B2 )P(C / B2 )+

А

(

)

(

)

.

+ P(B3 )P C / B3

+ P(B4 )P C / B4

P2 = P(D) = P(B1)P(D / B1 )+ P(B2 )P(D / B2 )+

ка

Р(В1) = Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,8×0,9 = 0,72,

+ P(B3 )P(D / B3 )+ P(B4 )P(D / B4 ).

е

Вероятности событий B1, B2 , B3, B4 при работе в жар их странах следующие:

о

т

Р(В2 ) = Р(

В) = Р(

)Р(В) = 0,1× 0,8 =

0,08,

А

А

) = Р(А)Р(

) = 0,9 × 0,2 = 0,18,

и

Р(В3 ) = Р(АВ

В

Р(В4 ) = Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,1× 0,2 =

0,02.

л

Вычислим вероятность Р(С):

б

Р1 = 0,72 × 0,99 + 0,08 × 0,9 + 0,18 × 0,95 + 0,02 × 0,8 = 0,97.

Вероятности

событий

Bi при

работе передвижной лаборатории

подсчитаем

аналогично:

б

и

Р(В1) = 0,7 × 0,9 = 0,63,

Р(В2) = 0,3 × 0,9 = 0,27,

Р(В3) = 0,7 × 0,1 = 0,07,

н

Р(В4) = 0,3 × 0,1 = 0,03.

н

Тогда вероятность события Рая(D) будет равна:

Р2 = 0,63 × 0,99 + 0,27 × 0,9 + 0,07 × 0,95 + 0,03 × 0,8 = 0,96.

Пример 5.

т

р

о

Ответ: 0,96

Три стрелка произвели залп, причем одна пуля поразила мишень. Найти

вероятнос ь

ого, что

третий

стрелок

поразил

мишень, если

вероятности

е

попадания в мишень (мастерство стрелка) равны 0,8, 0,5 и 0,4 для первого, второго

и тр ть гокстрелка соответственно.

Э

л

32

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Решение. Рассмотрим случайные события

НИ

А = {одна пуля поразила мишень},

Г

Вi = {i-й стрелок попал в мишень}, i = 1, 2, 3.

А

По условию

Р(В1) = 0,8;

Р(В2) = 0,5;

Р(В3) = 0,4.

ка

События В3

и B3

образуют

полную

группу,

поэтому по

формуле полной

вероятности:

е

Р(A) = Р(В3)Р(А/В3)+Р(

)Р(А/

).

В3

В3

т

Поскольку

о

A/ B3 =

×

,

B1

B2

и

а события `В1 и `В2 независимы, то

л

Р(А/В3) = Р( В1 )×Р( В2 ) = (1 - 0,8)(1 - 0,5) = 0,1.

Поскольку

б

А/

= В1×

+`

×В2,

В3

В2

В1

то по теореме сложения получим:

б

Р(А/ B ) = Р(В1× B

2

+` В ×B2) = Р(В1)Р( Bи

)+Р( В )Р(В2) = 0,8×0,5+0,2×0,5 = 0,5.

3

1

ая

2

1

Формула Байеса позволяет переоценить вероятность события после испытания, то

есть в данном случае, найти Р(В3/А):

н

Р(В3/А) = Р(В3)P(А/В3)/Р(А) = 0,4×0,1/(0,4×0,1+0,6×0,5) = 2/17.

н

Заметим, что вероят

ость события А= В1

В2 B3 +` В1 В2 B3 + В1

В2 B3

можно вычислить

иначе: P(A)=0,8·0,5·0,6+0,2·0,5·0,6+0,2·0,5·0,4= 0,34.

т

р

о

Ответ:

2 .

17

Пример 6.

е

Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти

вероятностьк

того,

что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа

л

33

первой, второй, третьей и четвертой лампы соответственно равны

Э

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Р1 = 0,1,

Р2 = 0,2,

Р3 = 0,3,

Р4 = 0,4.

НИ

Решение. Введем обозначения:

Г

А = {отказали две лампы},

А

Вij = {отказали лампы i и j, а другие исправны},

Вi = {отказала i-я лампа},

ка

Р(Вi) = Pi ,

i=1, 2, 3, 4.

е

По формуле полной вероятности:

т

Р(А) = Р(В1, 2)Р(А /В1, 2)+Р( В1, 2 )Р(А / В1, 2 )

о

Поскольку

В1, 2 = В1В2

3

4 , то Р(В1, 2) = 0,1×0,2×0,7×0,6 = 0,0084.

В

В

л

Событие А/В1, 2 означает, что отказали две лампы при условии, что отказали 1 и 2

лампы , а другие исправны, т.е. Р(А /В1, 2) = 1.

и

Поскольку

и

б