Часть 1_2507

р1 = 0,1

р2 = 0,2

р3 = 0,4

q1 = 0,9

q2 = 0,8

q3 = 0,6

P(A)= 1 - 0,9 × 0,8 × 0,6 =1 - 0,432 = 0,568

Ответ: 0,568.

Пример 5.

НИ

Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3.

Г

Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела.

Попавший

в

мишень первым получает приз. Найти

вероятность того, что

стрелки получат приз.

А

Решение. Для вручения приза достаточно, чтобы хотя бы одна из четырех

попыток была успешной. Вероятность попадания в

мишень p = 0,3, тогда

вероятность промаха q = 0,7 .

т

е

ка

Искомая вероятность

о

P = 1− 0,7

4

= 1− 0,2401 = 0,7599

Ответ: 0,7599.

Пример 6.

Для повышения надежности электрического прибора он дублируется другим,

точно таким

же прибором.

Надежность (вероятностьи

безотказной работы)

каждого прибора равна ρ. При выходе из строя первого прибора происходит

л

мгновенное переключение на второй (надежность переключающего устройства

равна единице). Определить надежностьб

системы двух дублирующих друг

друга приборов.

и

б

Решение. Отказ системы требует совместного отказа обоих приборов.

Надежность системы

аходитсяая

как вероятность события, противоположного

тому, что оба прибора одновременно откажут: Р = 1 – (1–p)2.

Пример 7.

н

Электрическая цепьн

составлена из четырех последовательно соединенных

элементов. Раз ыв цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя

о

бы один элемент. Вероятность выхода из строя за время t элементов цепи

следующие:р0,1; 0,2; 0,4; 0,7.

Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

т

Р ш ние. Обозначим через Аk событие, заключающееся в том, что выходит из

к

строя k-й элемент (k = 1, 2, 3, 4), а через Āk − противоположное событие.

Вероятностье

Р(Āk) означает надежность работы k-го элемента.

л

21

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

По условию

Р(А1) = 0,1;

Р(А2) = 0,2;

Р(А3) = 0,4;

Р(А4) = 0,7.

Тогда Р(Ā1) = 0,9;

Р(Ā2) = 0,8;

Р(Ā3) = 0,6;

Р(Ā4) = 0,3.

Разрыва в цепи не будет, если все элементы будут исправны.

А

Г

НИ

Таким образом, надежность работы цепи есть

Р(Ā1Ā2Ā3Ā4).

Так как события Āk независимые, то Р(Ā1Ā2Ā3Ā4)= Р(Ā1) Р(Ā2) Р(Ā3) Р(Ā4).

Подставляя данные задачи, получим

Р(Ā1 Ā2 Ā3 Ā4)=0,9 · 0,8 · 0,6 · 0,3 ≈ 0,13.

ка

Обозначив через А событие, заключающиеся в том, что произошел разрыв

цепи за время t , найдем его вероятность: Р(А)= 1 − Р(Ā1Ā2Ā3Ā4),

то есть

Р(А) = 1 − 0,13 = 0,87.

е

т

Ответ: 0,87.

Пример 8.

о

Электрическая цепь составлена по схеме (рис. 1). Вероятность выхода из строя

и

для каждого элемента цепи равна 0,01. Найти вероятность того, что в цепи

произойдет разрыв.

л

а)

2

и

1

4

5

б)

б

б

3

1

4

ая

н

3

5

2

в)

о

н

р

1

т

2

3

к

4

5

6

. 1

е

Рис

Реш ние. Примем следующие обозначения:

л

22

Э

Аk = {элемент с номером к вышел из строя},

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

В = {в цепи произошел разрыв}.

НИ

противоположного события

`В = {разрыва в цепи нет}.

А

Г

Поскольку

B =`А1(`А2+`А3)`А4`А5,

и события Аk независимы, то по теореме умножения получим

Р(

) = Р(Ā1)Р(Ā2+Ā3 )Р(Ā4)Р(Ā5 ).

ка

B

Поскольку события `А2 и `А3 совместные и независимые, то

Р(

2 +Ā3 )=Р(Ā2)+Р(Ā3) -

Р(Ā2)Р(Ā3 ).

т

е

A

о

Зная вероятность события Аk, найдем вероя ность противоположного

события: Р( Ak ) = 1 - Р(Аk) = 1-0,1 = 0,9.

и

Подсчитаем вероятность того, что разрыва в цепи нет:

Р(

л

B

) = 0,9(0,9+0,9 - 0,9×0,9)0,9×0,9 = 0,72.

Тогда вероятность разрыва Р(В) = 1 -

б

0,72=0,28.

б) В = А1×А2 + А3 + А4×А5.

б

и

Здесь также удобнее найти вероятность события

`В = {разрыва в цепи нет}.

Поскольку

ая

+ Ā5),

`В = (Ā1 + Ā2) Ā3 (Ā4

то применяя теоремы умножения и сложения вероятностей, получаем:

н

× 0,9 × (0,9+0,9-0,9×0,9) = 0,88.

Р( В ) = (0,9+0,9-0,9×0,9)

Тогда вероят ость разрыва Р(В) = 1-0,88 = 0,12.

р

в) В = А1 (А2+А3н)(А4+А5+А6).

т

для независимых событий имеем:

По теореме умноженияо

к

Р(В)=Р(А1)Р(А2+А3 )Р(А4+А5+А6).

е

По т ор ме сложения для совместных, независимых событий имеем:

л

+А3) = Р(А2 )+Р(А3)-

23

-0,1

×0,1 = 0,19.

Р(А2

Р(А2)Р(А3 )=0,1+0,1

Э

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Р(А4+А5+А6) = Р(А4)+Р(А5)+Р(А6 )-Р(А4 ×А5)-Р(А4×А6 )-Р(А5 ×А6 )+

НИ

+Р(А4 ×А5×А6 ) = 0,1+0,1+0,1-0,1×0,1-0,1×0,1-0,1×0,1+0,1×0,1×0,1 = 0,271.

Г

Заметим, что эту вероятность можно найти и иначе:

А

Р(А4+А5+А6) = 1 - Р(`А4 ×`А5 ×`А6) = 1 - 0,9 = 0,271.

Окончательно имеем:

Р(В) = 0,1 × 0,19 × 0,271 = 0,005.

Задания для самостоятельной работы

ка

Ответ: 0,005.

т

1.

Магазин получил продукцию в ящиках с четыр х оптовых складов: четыре с

первого, пять со второго, семь с третьего, че ыре с ч твертого. Случайным

образом выбран ящик для продажи. Какова вероя

еность того, что это будет

ящик с первого или с третьего склада?

и

Ответ: 0,55.

2.

л

отправления. Вероятность

В порт приходят корабли только из трех пунктово

появления корабля из первого пункта равна 0,2, из второго пункта 0,6.

Найти вероятность прибытия кораб я из третьего пункта.