comb_ch2

(ii) m ¸ (2k ¡ 3)(n ¡ k + 1) + 1:

(•â® ã⢥ত¥-¨¥ ¤¥©á⢨⥫ì-® ᨫì-¥¥, â ª ª ª (i) ¨ (ii) á«¥¤ãîâ ¨§ - 襣® ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨ï

çâ® n ¸ 2k. …᫨ ¢¥àè¨- v ¨¬¥¥â d(v) · 2k ¡ 3, ¤®áâ â®ç-® ¯à¨¬¥-¨âì ¨-¤ãªæ¨®--®¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨¥ ª G ¡ v, â ª ª ª jG ¡ vj = n ¡ 1, kG ¡ vk ¸ (2k ¡ 3)((n ¡ 1) ¡ k + 1). •®í⮬㠤®¯ãá⨬, çâ® ±(G) ¸ 2k ¡ 2. …᫨ G ï¥âáï k-á¢ï§-ë¬, ¤®ª §ë¢ âì, -¥ç¥£®. •®í⮬㠤®¯ãá⨬, çâ® G ¨¬¥¥â ¢¨¤ G = G1 [G2, £¤¥ jG1 \G2j < k ¨ jG1j; jG2j < n. •®áª®«ìªã ª ¦¤®¥ ॡ஠£à ä G «¥¦¨â «¨¡® ¢ G1 «¨¡® ¢ G2, â® ¢ G -¥â ॡ¥à ¬¥¦¤ã G1 ¡ G2 ¨ G2 ¡ G1. ˆ§ ⮣®, çâ® ã ª ¦¤®© ¢¥àè¨-ë ¢ íâ¨å ¯®¤£à ä å ¥áâì -¥ ¬¥-¥¥ ±(G) ¸ 2k ¡ 2 á®á¥¤¥©, ¯®«ãç ¥¬ jG1j; jG2j ¸ 2k ¡ 1. •® ⮣¤ å®âï ¡ë ®¤¨- ¨§ £à 䮢 G1, G2 ¤®«¦¥- 㤮¢«¥â¢®àïâì ¨-¤ãªæ¨®--®¬ã ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨î (§ ¢¥àè ï ¤®ª § ⥫ìá⢮). ‚ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬

kGik · (2k ¡ 3)(jGij ¡ k + 1)

¯à¨ i = 1; 2 ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì-®,

m· kG1k + kG2k

·(2k ¡ 3)(jG1j + jG2j ¡ 2k + 2)

·(2k ¡ 3)(n ¡ k + 1)

(â ª ª ª jG1 \ G2j · k ¡ 1), çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â (ii).¤

“¯à ¦-¥-¨ï

1.„®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¤«ï £à ä G - ¨¬¥-ìè ï á⥯¥-ì ¥£® ¢¥àè¨- ±(G) ¸ jGj¡2 1 , â® G á¢ï§-ë© £à ä.

2.„®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¤«ï £à ä G ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮

kGk > (jGj ¡ 1)(jGj ¡ 2); 2

â® G á¢ï§¥-.

3. „®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® -¥âਢ¨ «ì-®£® £à ä G ¢ë¯®«-ï¥âáï -¥à ¢¥-á⢮

·(G) · ¸(G) · ±(G):

’ ª çâ®, ¢ ç áâ-®áâ¨, ¢ë᮪ ï á¢ï§-®áâì âॡã¥â ¡®«ì让 ¬¨-¨¬ «ì-®© á⥯¥-¨.

4.•à¨¢¥á⨠¯à¨¬¥àë £à 䮢 á ¡®«ì让 ¬¨-¨¬ «ì-®© á⥯¥-ìî, -® -¥ ®¡« ¤ îé¨å -¨ ¢ë᮪®© á¢ï§-®áâìî, -¨ ¤ ¦¥ ¢ë᮪®© ॡ¥à-®© á¢ï§-®áâìî.

x5. •©«¥à®¢ë ®¡å®¤ë

Žв殬 в¥®а¨¨ £а д®¢ п¢«п¥вбп ‹¥®- а¤ •©«¥а (1707-1782), а¥и¨¢и¨© ¢ 1736 £®¤г и¨а®ª® ¨§¢¥бв-го ¢ в® ¢а¥¬п § ¤ зг, - §л¢ ¢игобп ¯а®¡«¥¬®© ª¥-¨£б¡¥а£бª¨е ¬®бв®¢. ‚ £®а®¤¥ Š¥-¨£б¡¥а£¥ ¡л«® ¤¢ ®бва®¢ , б®¥¤¨-¥--ле б¥¬мо ¬®бв ¬¨ б ¡¥а¥£ ¬¨ а¥ª¨ •а¥£®«п ¨ ¤аг£

11

•¨á 5.1. Œ®áâë Š¥-¨£á¡¥à£ (1736 £®¤)

б ¤аг£®¬ в ª, ª ª ¯®ª § -® - а¨б. 5.1. ‡ ¤ з б®бв®п« ¢ б«¥¤гой¥¬: - ©в¨ ¬ аиагв ¯а®е®¦¤¥-¨п ¢б¥е з¥вла¥е з бв¥© бги¨, ª®в®ал© - з¨- «бп ¡л б «о¡®© ¨§ -¨е, ª®-з «бп ¡л - нв®© ¦¥ з бв¨ ¨ а®¢-® ®¤¨- а § ¯а®е®¤¨« ¯® ª ¦¤®¬г ¬®бвг. ˆбª«оз¨в¥«м-л© ¢ª« ¤ •©«¥а ¢ а¥и¥-¨¥ нв®© § ¤ з¨ § ª«оз ¥вбп ¢ ⮬, зв® ®- ¤®ª § « -¥¢®§¬®¦-®бвм в ª®£® ¬ аиагв .

Ž¯а¥¤¥«¥-¨¥ 5.1. • §®¢¥¬ § ¬ª-гвл© ¬ аиагв ¢ £а д¥ н©«¥а®¢л¬ ®¡е®¤®¬, ¥б«¨ ®- ¯а®е®¤¨в ª ¦¤®¥ а¥¡а® £а д а®¢-® ®¤¨- а §. ƒа д н©«¥а®¢, ¥б«¨ ®- ¤®¯гбª ¥в н©«¥а®¢ ®¡е®¤.

’¥®à¥¬ 5.1. (•©«¥à, 1736). ‘¢ï§-ë© £à ä í©«¥à®¢, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ª ¦¤ ï ¥£® ¢¥àè¨- ¨¬¥¥â ç¥â-ãî á⥯¥-ì.

„®ª § ⥫ìá⢮. Žç¥¢¨¤-®, çâ® ãá«®¢¨¥ - á⥯¥-¨ -¥®¡å®¤¨¬®: ¢¥àè¨- , ¢áâà¥ç î- é ïáï ¢ í©«¥à®¢®¬ ®¡å®¤¥ k à § (¨«¨ k + 1 à §, ¥á«¨ íâ® - ç «ì- ï ¨ ª®-¥ç- ï ¢¥àè¨- ,

ãç¨âë¢ ¥¬ ï ¤¢ ¦¤ë), ¤®«¦- ¨¬¥âì á⥯¥-ì 2k.

Ž¡à â-®, ¯ãáâì ¢ á¢ï§-®¬ £à ä¥ G á⥯¥-¨ ¢á¥å ¢¥àè¨- ç¥â-ë, ¨ ¯ãáâì

W = v0e0 : : : el¡1vl

¥бвм ¤«¨--¥©и¨© ¬ аиагв ¢ G, ¨á¯®«ì§ãî騩 ª ¦¤®¥ ॡ஠-¥ ¡®«¥¥ ®¤-®£® à § . •®áª®«ìªã à áè¨à¨âì W -¥«ì§ï, ®- 㦥 ¢ª«îç ¥â ¢á¥ à¥¡à ¯à¨ vl. •® ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨î, ç¨á«® â ª¨å ॡ¥à ç¥â-®. ‡- ç¨â, vl = v0, в® ¥бвм ¬ аиагв W § ¬ª-ãâ.

12

•à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® W -¥ í©«¥à®¢. ’®£¤ ¢ G ¥áâì ॡ஠e, -¥ ¢å®¤ï饥 ¢ W , -® ¨-樤¥-â-®¥

¢¥àè¨-¥ ¨§ W , - ¯à¨¬¥à, e = uvi (‡¤¥áì ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ á¢ï§-®áâì £à ä G, ª ª ¨ ¯а¨ ¤®ª § в¥«мбв¢¥ гв¢¥а¦¤¥-¨п 4.1.). ’®£¤ ¬ аиагв

ueviei : : : el¡1vle0 : : : ei¡1vi

¤«¨--¥¥, 祬 W ; ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ¤

‘«¥¤á⢨¥ 5.2. ƒà ä, ä®à¬ «¨§¨àãî騩 § ¤ çã ® ª¥-¨£á¡¥à£áª¨å ¬®áâ å (à¨á. 7.1.) -¥ ï¥âáï í©«¥à®¢ë¬, â ª ª ª ᮤ¥à¦¨â ¢¥àè¨-ë -¥ç¥â-ëå á⥯¥-¥© (á¬. à¨á. 5.2.). ¤

•¨á 5.2. ƒà ä, ä®à¬ «¨§ãî騩 § ¤ çã ® ¬®áâ å

‘«¥¤á⢨¥ 5.3. á¢ï§-ë© £à ä G ᮤ¥а¦¨в ¬ аиагв б ª®-ж ¬¨ v ¨ w (v =6 w), ¯à®å®¤ï- 騩 ª ¦¤®¥ ॡ஠£à ä ஢-® ®¤¨- à §, ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ v ¨ w - ¥¤¨-á⢥--ë¥ ¢¥àè¨-ë -¥ç¥â-®© á⥯¥-¨ ¢ G.

„®ª § ⥫ìá⢮. •¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï - á⥯¥-¨ ¢¥àè¨- ¤®ª §ë¢ ¥âáï â ª ¦¥, ª ª ¢ ⥮६¥ 5.1.

Ž¡à â-®, ¯ãáâì ¢¥àè¨-ë v ¨ w { ¥¤¨-á⢥--ë¥ -¥ç¥â-ë¥ ¢¥àè¨-ë £à ä G. • áᬮâਬ £à ä G + vw, ¯®«ãç î騩áï ¨§ G ¤®¡ ¢«¥-¨¥¬ ॡà vw. ‚ᥠ¢¥àè¨-ë í⮣® £à ä ¨¬¥îâ ç¥â-ãî á⥯¥-ì, á«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¢ ᨫã ⥮६ë 5.1, ¢ G + vw ¥áâì í©«¥à®¢ 横«. “¤ «ïï ¨§ £à ä G + vw ॡ஠vw, ¯®«гз¨¬ ¬ аиагв б ª®-ж ¬¨ v ¨ w, ¯à®å®¤ï騩 ¯® ª ¦¤®¬ã ॡàã ஢-® ®¤¨- à §. ¤

“⢥ত¥-¨¥ 5.4. (”«¥à¨) ‘«¥¤ãî騩 «£®à¨â¬ áâநâ í©«¥à®¢ ®¡å®¤ ¢ £à ä¥ G (¥á«¨ â ª®© ®¡å®¤ áãé¥áâ¢ã¥â). ‚ëå®¤ï ¨§ ¯à®¨§¢®«ì-®© ¢¥àè¨-ë v ¨¤¥¬ ¯® à¥¡à ¬ £à ä , ᮡ«î- ¤ ï ¯à ¢¨« :

1.áâ¨à ¥¬ à¥¡à ¯® ¬¥à¥ ¨å ¯а®е®¦¤¥-¨п ¨ бв¨а ¥¬ ¨§®«¨а®¢ --л¥ ¢¥аи¨-л, ª®в®ал¥ ¯а¨ н⮬ ®¡а §говбп;

2.- ª ¦¤®¬ íâ ¯¥ ¨¤¥¬ ¯® ¬®áâã ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ -¥â ¤àã£¨å ¢®§¬®¦-®á⥩.

„®ª § ⥫ìá⢮. • ç¨- ¥¬ «£®à¨â¬ ¢ ¢¥àè¨-¥ v. ’ ª ª ª £à ä í©«¥à®¢, â® ¯®á«¥ 㤠«¥-¨ï ¯à®¨§¢®«ì-®£® ॡà vw ®áâ ¥âáï á¢ï§-ë© £à ä, ᮤ¥à¦ 騩 ஢-® ¤¢¥ ¢¥àè¨-ë v ¨ w -¥ç¥â-®© á⥯¥-¨ (á¬. à¨á. 5.3.).

13

•¨á 5.3.

…᫨ ¢ -®¢®¬ £à ä¥ d(v) = 1, â® ¯à®å®¤¨¬ ¯® ¥¤¨-á⢥--®¬ã ॡàã vu1, ¨-樤¥-â-®¬ã í⮩ ¢¥àè¨-¥, áâ¨à ï ॡ஠¨ ¢¥àè¨-ã v. ‚ १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬ á¢ï§-ë© £à ä, ¢ ª®â®à®¬ ¢ â®ç-®á⨠¤¢¥ ¢¥àè¨-ë ¨¬¥îâ -¥ç¥â-ãî á⥯¥-ì: u1 ¨ w.

…᫨ ¢ £à ä¥ G ¡ vw d(v) = 2k + 1 > 1, â® ¨§ ¢¥àè¨-ë v ¬®¦-® ¤ «ìè¥ ¤¢¨£ âìáï ¯® «î¡®¬ã ¨§ ॡ¥à vui (i = 1; 2k). •®á«¥ 㤠«¥-¨ï ॡà vui ¯®«ãç ¥¬ á¢ï§-ë© £à ä, ¢ ª®â®à®¬ ui ¨ w - ¥¤¨-á⢥--ë¥ ¢¥àè¨-ë -¥ç¥â-®© á⥯¥-¨.

„¢¨£ ïáì - «®£¨ç-® ¤ «ìè¥, áâ¨à ï à¥¡à ¨ ¢¥àè¨-ë, - ª ¦¤®¬ è £¥ ¡ã¤¥¬ ¯®«ãç âì £à ä, ¢ ª®â®à®¬ ¢ â®ç-®á⨠¤¢¥ ¢¥àè¨-ë ¨¬¥îâ -¥ç¥â-ãî á⥯¥-ì, ¯à¨ç¥¬ ®¤- ¨§ -¨å -

w; «¨¡® £à ä, ¢ ª®â®à®¬ ¢á¥ ¢¥àè¨-ë ¨¬¥îâ ç¥â-ãî á⥯¥-ì. ‚ ª®-¥ç-®¬ ¨â®£¥ ¯à¨¤¥¬ ¢ ¢¥àè¨-ã w, ¯à®©¤ï ¢á¥ à¥¡à £à ä . ¤

“¯à ¦-¥-¨ï

1. •ãáâì G { ª®-¥ç-ë© á¢ï§-ë© £à ä á 2k -¥ç¥â-묨 ¢¥àè¨- ¬¨. „®ª § âì, çâ® ¢ G ¥áâì k -¥§ ¬ª-гвле ¬ аиагв®¢, ª®в®ал¥ ¢ б®¢®ªг¯-®бв¨ б®¤¥а¦ в ¢б¥ а¥¡а £а д ¯® ®¤-®¬г

à §ã.

2.„®ª § âì, çâ® á¢ï§-ë© £à ä ï¥âáï í©«¥à®¢ë¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ᥬ¥©á⢮ ¥£® ॡ¥à ¬®¦-® à §¡¨âì - -¥¯¥à¥á¥ª î騥áï 横«ë.

3.•à¨ ª ª¨å §- ç¥-¨ïå n £à ä Kn í©«¥à®¢?

4. Œ®¦-® «¨ 室®¬ è å¬ â-®£® ª®-ï ®¡®©â¨ ¢áî è å¬ â-ãî ¤®áªã (8 £ 8) â ª, çâ®¡ë ª ¦¤ë© 室 ¢áâà¥ç «áï ஢-® ®¤¨- à §? •®¤ë -¨¦¥á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ ®â®¦¤¥á⢫塞.

-

6

5. „®ª § âì, çâ® K5 ¨¬¥¥â 264 í©«¥à®¢ë 楯¨.

x6. ƒ ¬¨«ìâ®-®¢ë ®¡å®¤ë

14

‘íà “¨«ìï¬ ƒ ¬¨«ìâ®- (1805-1865), áâà®ï 横«ë, ᮤ¥à¦ 騥 ª ¦¤ãî ¢¥àè¨-ã ¤®¤¥ª - í¤à (á¬. à¨á. 6.1.), ®¯à¥¤¥«¨« ª« áá £à 䮢, -®áïé¨å ⥯¥àì ¥£® ¨¬ï.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 6.1. • §®¢¥¬ 横« ¢ £à ä¥ £ ¬¨«ìâ®-®¢ë¬, ¥á«¨ ®- ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ª - ¦¤ãî ¢¥àè¨-ã £à ä . ƒà ä £ ¬¨«ìâ®-®¢, ¥á«¨ ¢ -¥¬ ¥áâì £ ¬¨«ìâ®-®¢ 横«.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 6.2. •ãâì ¢ £à ä¥, ¯à®å®¤ï騩 ç¥à¥§ ª ¦¤ãî ¢¥àè¨-ã £à ä , - §ë¢ ¥âáï £ ¬¨«ìâ®-®¢ë¬. ƒà ä ¯®«ã£ ¬¨«ìâ®-®¢, ¥á«¨ ¢ -¥¬ ¥áâì £ ¬¨«ìâ®-®¢ ¯ãâì.

•¨á 6.1. ƒ ¬¨«ìâ®-®¢ 横« ¢ ¤®¤¥ª í¤à¥ (¨§®¡à ¦¥- ᯫ®è-묨 «¨-¨ï¬¨).

•¥á¬®âàï - á室á⢮ ¢ ®¯à¥¤¥«¥-¨ïå ¤«ï í©«¥à®¢ëå ¨ £ ¬¨«ìâ®-®¢ëå 横«®¢, -¥¯®á।- á⢥--®© ¢§ ¨¬®á¢ï§¨ ¬¥¦¤ã í⨬¨ ¯®-ïâ¨ï¬¨ -¥â, £à ä ¬®¦¥â ®¡« ¤ âì ª ª ®¡®¨¬¨ ᢮©- á⢠¬¨, â ª ¨ ⮫쪮 ®¤-¨¬ ¨§ -¨å (á¬. à¨á. 6.2.).

Ž¯à¥¤¥«¨âì, ¨¬¥¥â «¨ § ¤ --ë© £à ä £ ¬¨«ìâ®-®¢ 横«, - ¬-®£® âàã¤-¥¥, 祬 ãáâ -®¢¨âì, ï¥âáï «¨ ®- í©«¥à®¢ë¬, ¨ -¨ ®¤-®© å®à®è¥© å à ªâ¥à¨§ 樨 â ª¨å £à 䮢 -¥ - ©¤¥-®.

•®«ìè¨-á⢮ ¨§¢¥áâ-ëå ⥮६ ¨¬¥¥â ¢¨¤: "¥á«¨ G ¨¬¥¥â ¤®áâ â®ç-®¥ ç¨á«® ॡ¥à, â® G

ï¥âáï £ ¬¨«ìâ®-®¢ë¬ £à 䮬"; ¢¥à®ïâ-®, á ¬®© §- ¬¥-¨â®© ¨§ -¨å ï¥âáï á«¥¤ãîé ï ⥮६ .

’¥®à¥¬ 6.1. („¨à ª, 1952). Š ¦¤ë© £à ä á n ¸ 3 ¢¥àè¨- ¬¨ ¨ ¬¨-¨¬ «ì-®© á⥯¥-ìî ¯® ¬¥-ì襩 ¬¥à¥ n=2 ¨¬¥¥â £ ¬¨«ìâ®-®¢ 横«.

15

ᬥ¦-ë á xk ¨ ¯® ¬¥-ì襩 ¬¥à¥ n=2 ¨§ íâ¨å k < n ¢¥àè¨- xi â ª®¢ë, çâ® x0xi+1 2 E. •® ¯à¨-樯㠄¨à¨å«¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥àè¨- xi, ª®â®à ï ®¡« ¤ ¥â ®¡®¨¬¨ í⨬¨ ᢮©á⢠¬¨, ¯®í⮬ã x0xi+1 2 E ¨ xixk 2 E ¤«ï -¥ª®â®à®£® i < k (à¨á. 6.3).

•¨á. 6.3. • 宦¤¥-¨¥ £ ¬¨«ìâ®-®¢ 横« ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 6.1

Œë ã⢥ত ¥¬, ç⮠横« C := x0xi+1P xkxiP x0 ¥áâì £ ¬¨«ìâ®-®¢ 横« £à ä G. „¥©- á⢨⥫ì-®, ¯®áª®«ìªã G á¢ï§¥-, â® C ¢ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥« ¡ë ᬥ¦-ãî ¢¥àè¨-ã ¢ G¡C, ª®â®à ï ¢ ®¡ê¥¤¨-¥-¨¨ á ¯®¤å®¤ï騬 ®á⮢-ë¬ ¯ã⥬ 横« C ¤ ¢ « ¡ë ¯ãâì ¤«¨--¥¥, 祬

¯® ®¤-®© ¢¥àè¨-¥, â® ±(G) = bn=2c, -® ·(G) = 1, ¨ ¯®í⮬ã G -¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì £ ¬¨«ìâ®-®¢

横« .

ˆ-в¥а¥б ª ¨§гз¥-¨о £ ¬¨«мв®-®¢ле ж¨ª«®¢ ¢® ¬-®£®¬ ®¡кпб-п¥вбп ¨е б¢п§мо б в ª - §л- ¢ ¥¬®© § ¤ з¥© ª®¬¬¨¢®п¦¥а { ª®¬¡¨- в®а-®© § ¤ з¥© ®¯в¨¬¨§ ж¨¨, ¨¬¥ой¥© ¯¥а¢®бв¥- ¯¥--®¥ §- з¥-¨¥. ‡ ¤ з § ª«оз ¥вбп ¢ ®влбª -¨¨ б ¬®£® ¢л£®¤-®£® ¬ аиагв , ¯а®е®¤пй¥£® з¥а¥§ гª § --л¥ £®а®¤ е®вп ¡л ¯® ®¤-®¬г а §г. ‚ гб«®¢¨пе § ¤ з¨ гª §л¢ овбп ªа¨в¥а¨© ¢л£®¤-®бв¨ ¬ аиагв (ªа вз ©и¨©, б ¬л© ¤¥и¥¢л© ¨ в. ¯.) ¨ б®®в¢¥вбв¢гой¨¥ ¬ ва¨жл а ббв®п-¨©, бв®¨¬®бв¨ ¨ в. ¯. Š ª ¯а ¢¨«®, гª §л¢ ¥вбп, зв® ¬ аиагв ¤®«¦¥- ¯а®е®¤¨вм з¥а¥§ ª ¦¤л© £®а®¤ в®«мª® ®¤¨- а § { ¢ в ª®¬ б«гз ¥ ¢л¡®а ®бгй¥бв¢«п¥вбп ба¥¤¨ £ ¬¨«м- в®-®¢ле ж¨ª«®¢.

“¯à ¦-¥-¨ï

1. Œ®¦-® «¨ 室®¬ è å¬ â-®£® ª®-ï ®¡®©â¨ ¢áî è å¬ â-ãî ¤®áªã (8 £ 8) â ª, ç⮡ë

¯®¡л¢ вм ¢ ª ¦¤®© ª«¥вª¥ а®¢-® ®¤¨- а § ¨ ¢¥а-гвмбп ¢ ¨б室-го ª«¥вªг? ˆ¬¥¥в «¨ нв § ¤ з а¥и¥-¨п - и е¬ в-®© ¤®бª¥ n £ n ¯à¨ n = 3; 7?

2. „®ª § âì, çâ® ¯®«-ë© £à ä Kn à §«®¦¨¬ ¢ ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥ £ ¬¨«ìâ®-®¢ëå 横«®¢, («î¡ë¥ ¤¢ ¨§ ª®â®àëå -¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å ॡ¥à) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ n { -¥ç¥â-®¥ ç¨á«®.

3.„®ª § âì, çâ® ¯®«-ë© £à ä Kn à §«®¦¨¬ ¢ ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥ £ ¬¨«ìâ®-®¢ëå ¯ã⥩, («î¡ë¥ ¤¢ ¨§ ª®â®àëå -¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å ॡ¥à) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ n { ç¥â-®¥ ç¨á«®.

4.

16

x7. „¥à¥¢ìï ¨ «¥á

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.1. €æ¨ª«¨ç¥áª¨© £à ä, â. ¥. -¥ ᮤ¥à¦ 騩 横«®¢, - §ë¢ ¥âáï «¥á®¬. ‘¢ï§-ë© «¥á - §ë¢ ¥âáï ¤¥à¥¢®¬. (’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «¥á - íâ® £à ä, ª®¬¯®-¥-âë ª®â®à®£® áãâì ¤¥à¥¢ìï.) ‚¥àè¨-ë á⥯¥-¨ 1 ¢ ¤¥à¥¢¥ - §ë¢ îâáï «¨áâìﬨ.

Š ¦¤®¥ -¥âਢ¨ «ì-®¥ ¤¥à¥¢® ¨¬¥¥â -¥ ¬¥-ìè¥ ¤¢ãå «¨áâ쥢, - ¯à¨¬¥à â ª®¢ë ª®-æë ¤«¨--¥©è¥£® ¯ãâ¨. •â®â ¯à®á⮩ ä ªâ ç áâ® ®ª §ë¢ ¥âáï 㤮¡-ë¬, ®á®¡¥--® ¢ ¨-¤ãªâ¨¢-ëå ¤®ª § ⥫ìáâ¢ å ® ¤¥à¥¢ìïå: ¥á«¨ ¬ë 㤠«ï¥¬ ¨§ ¤¥à¥¢ «¨áâ, â® ®áâ ¥âáï ¤¥à¥¢®.

•¨á 7.1. „¥à¥¢®

’¥®à¥¬ 7.1. „«ï £à ä

(i) T ï¥âáï ¤¥à¥¢®¬;

(ii) «î¡ë¥ ¤¢¥ ¢¥àè¨-ë ¢ T ᮥ¤¨-¥-ë ¥¤¨-á⢥--ë¬ ¯ã⥬;

(iii) T { ¬¨-¨¬ «ì-ë© á¢ï§-ë©, â. ¥. T á¢ï§¥-, -® T ¡ e -¥á¢ï§¥- ¤«ï «î¡®£® ॡà e 2 T ; (iv) T { ¬ ªá¨¬ «ì-ë© æ¨ª«¨ç¥áª¨©, â. ¥. T -¥ ᮤ¥à¦¨â 横« , -® T + xy ᮤ¥à¦¨â

横« ¤«ï «î¡ëå -¥á¬¥¦-ëå ¢¥àè¨- x; y 2 T .

„®ª § ⥫ìá⢮. (i) ! (ii). ¯ãáâì T { ¤¥à¥¢® ¨

P1 = xz1 : : : zmy; P2 = xt1 : : : tky

{ ¤¢ à §«¨ç-ëå ¯ãâ¨, ᮥ¤¨-ïîé¨å ¢¥àè¨-ë x ¨ y. •ãáâì i { ¬¨-¨¬ «ì-ë© ¨-¤¥ªá â ª®©, çâ® zi+1 6= ti+1 (i ¸ 0) ¨ j { ¬¨-¨¬ «ì-ë© ¨-¤¥ªá â ª®©, çâ® j ¸ i ¨ tj+1 2 P1, ᪠¦¥¬

tj+1 = zm:

¤¢¥ ¢¥àè¨-ë ¢ T ᮥ¤¨-¥-ë ¥¤¨-á⢥--ë¬ ¯ã⥬.

17

(ii) ! (iii). ’ ª «î¡ë¥ ¤¢¥ ¢¥àè¨-ë £à ä T ᮥ¤¨-¥-ë ¯ã⥬ ¢ T , â® T { á¢ï§-ë©. •ãáâì e = xy { ¯à®¨§¢®«ì-®¥ ॡ஠£à ä T . …᫨ T ¡ e á¢ï§¥-, â® ¢ í⮬ £à ä¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì P = xz1 : : : zmy (m ¸ 1). ’®£¤ ¢ ¨á室-®¬ £à ä¥ ¢¥àè¨-ë x ¨ y ᮥ¤¨-ïîâ ¤¢ ¯ãâ¨: P ¨ ॡ஠e, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î.

(iii) ! (iv). •ãáâì T { ¬¨-¨¬ «ì-ë© á¢ï§-ë© £à ä ¨ xz1 : : : zmy { ж¨ª« ¢ -¥¬. ‚ «о¡®¬ ¬ аиагв¥, ᮤ¥а¦ й¥¬ а¥¡а® xy, í⮠ॡ஠¬®¦-® § ¬¥-¨âì - ¯ãâì xz1 : : : zmy. ’® ¥áâì T ¡ xy { á¢ï§-ë© £à ä. •®«ãç¥--®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® T -¥ ᮤ¥à¦¨â 横«®¢.

…᫨ x ¨ y { ¯à®¨§¢®«ì-ë¥ -¥á¬¥¦-ë¥ ¢¥àè¨-ë £à ä T , â® ¢ T áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì xz1 : : : zmy, â ª ª ª T á¢ï§¥-. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, £à ä T + xy ᮤ¥à¦¨â 横«. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, T { ¬ ªá¨-

¬«ì-ë© æ¨ª«¨ç¥áª¨© £à ä.

(iv)! (i). •à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® T -¥ ï¥âáï á¢ï§-ë¬. •ãáâì x ¨ y { ¢¥àè¨-ë T , ¯à¨- ¤-

«¥¦ 騥 à §«¨ç-ë¬ ª®¬¯®-¥-â ¬. ƒà ä T + xy ¤®«¦¥- ᮤ¥à¦ âì 横« xz1 : : : zmy. •® íâ® ®§- ç ¥â, çâ® T ᮤ¥à¦¨â ¯ãâì, ᮥ¤¨-ïî騩 ¢¥àè¨-ë x ¨ y, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¥¤¯®«®¦¥- -¨î. ¤

Ž¡®¡é ï - è¨ ®¡®§- ç¥-¨ï ¤«ï ¯ã⥩ ¨§ x3, ¡ã¤¥¬ ¯®¤ xT y ¯®-¨¬ âì ¥¤¨-á⢥--ë© ¯ãâì

¢¤¥à¥¢¥ T ¬¥¦¤ã ¢¥àè¨- ¬¨ x; y (á¬. (ii) ¢ëè¥).

—áâ® ¨á¯®«ì§ã¥¬®¥ ¯à¨«®¦¥-¨¥ ⥮६ 7.1 á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢á直© á¢ï§-ë© £à ä á®- ¤¥à¦¨â ®á⮢-®¥ ¤¥à¥¢®: ¨§ à ¢-®á¨«ì-®á⨠(i) ¨ (iii) ¢á直© ¬¨-¨¬ «ì-ë© ®á⮢-ë© ¯®¤£à ä

ï¥âáï ¤¥à¥¢®¬. „«ï ¯®áâ஥-¨ï ®á⮢-®£® ¤¥à¥¢ ¢ á¢ï§-®¬ £à ä¥ G ¨á¯®«ì§ã¥âáï á«¥¤ãî- 騩 «£®à¨â¬. …᫨ G -¥ ᮤ¥à¦¨â 横«®¢, â® ®- á ¬ ï¥âáï ¤¥à¥¢®¬. ‚ ¯à®â¨¢-®¬ á«ãç ¥ 㤠«ï¥¬ «î¡®¥ ॡ஠¯à®¨§¢®«ì-®£® 横« . •à¨ í⮬ á¢ï§-®áâì -¥ - àãè ¥âáï, ª®«¨ç¥á⢮

ª¦¤ ï ¢¥àè¨- vi ¯à¨ i ¸ 2 ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¥¤¨-á⢥--®£® á®á¥¤ ¢ fv1; : : : ; vi¡1g. „®ª § ⥫ìá⢮. •à¨¬¥-塞 -㬥à æ¨î, ¯®áâ஥--ãî ¢ ã⢥ত¥-¨¨ 4.1. ¤

‘«¥¤á⢨¥ 7.3. ‘¢ï§-ë© £à ä á n ¢¥àè¨- ¬¨ ï¥âáï ¤¥à¥¢®¬, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¢ -¥¬ ¢ â®ç-®á⨠n ¡ 1 ॡ¥à.

„®ª § ⥫ìá⢮. ˆ-¤ãªæ¨ï ¯® i ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯®¤£à ä, ¯®à®¦¤¥--ë© ¯¥à¢ë¬¨ i ¢¥à- è¨- ¬¨ ¨§ á«¥¤á⢨ï 5.2, ᮤ¥à¦¨â i¡1 ॡ¥à; ¯à¨ i = n íâ® ¤®ª §ë¢ ¥â ¯àï¬ãî ¨¬¯«¨ª æ¨î. Ž¡à â-®, ¯ãáâì G ¥áâì á¢ï§-ë© £à ä á n ¢¥àè¨- ¬¨ ¨ n ¡ 1 à¥¡à ¬¨, ¨ ¯ãáâì G0 { ®á⮢-®¥ ¤¥à¥¢® ¢ G. •®áª®«ìªã G0 ¨¬¥¥â n ¡ 1 ॡ¥à ¯® ¯¥à¢®© ¨¬¯«¨ª 樨, â® ¯®«ãç ¥¬ G = G0. ¤ ‘«¥¤á⢨¥ 7.4. …᫨ T ¥áâì ¤¥à¥¢®, a G { «î¡®© £à ä á ±(G) ¸ jT j ¡ 1, â® T µ G, â. ¥.

G ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à ä, ¨§®¬®àä-ë© T .

„®ª § ⥫ìá⢮. • 室¨¬ ª®¯¨î ¤¥à¥¢ á⢨ï 5.2. ¤

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.2. ˆ-®£¤ 㤮¡-® áç¨â âì ®¤-ã ¨§ ¢¥àè¨- ¤¥à¥¢ ®á®¡®©; â ª ï ¢¥àè¨- - §ë¢ ¥âáï ª®à-¥¬ í⮣® ¤¥à¥¢ . „¥à¥¢® á § 䨪á¨à®¢ --ë¬ ª®à-¥¬ - §ë¢ ¥âáï ª®à-¥¢ë¬ ¤¥à¥¢®¬.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.3. ‚ë¡®à ª®à-ï r ¢ ¤¥à¥¢¥ T § ¤ ¥â ç áâ¨ç-ë© ¯®à冷ª - V (T ) (áç¨- â ¥¬, çâ® x · y, ¥á«¨ x 2 rT y). •â® { ¤à¥¢¥á-ë© ¯®à冷ª - V (T ), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© T ¨ r.

18

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.4. Š®à-¥¢®¥ ¤¥à¥¢® T , ᮤ¥à¦ 饥áï ¢ £à ä¥ G, - §ë¢ ¥âáï -®à¬ «ì-ë¬ ¢ G, ¥á«¨ ª®-æë «î¡®£® T -¯ã⨠¢ G áà ¢-¨¬ë ®â-®á¨â¥«ì-® ¤à¥¢¥á-®£® ¯®à浪 , § ¤ ¢ ¥¬®£® ¯®á।á⢮¬ T . …᫨ V (T ) = V (G), íâ® à ¢-®á¨«ì-® âॡ®¢ -¨î, çâ® «î¡ë¥ ¤¢¥ ¢¥àè¨-ë ¨§ T ¤®«¦-ë ¡ëâì áà ¢-¨¬ë, ¥á«¨ ®-¨ ᬥ¦-ë ¢ G (á¬. à¨á. 5.3).

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.5. •®à¬ «ì-ë¥ ®á⮢-ë¥ ¤¥à¥¢ìï â ª¦¥ - §ë¢ îâáï ¤¥à¥¢ìﬨ ¯®¨áª ¢ £«ã¡¨-ã ¨§-§ ᯮᮡ ¨å ¯à¨¬¥-¥-¨ï ¢ ª®¬¯ìîâ¥à-®¬ ¯®¨áª¥ ¯® £à äã (á¬. ã¯à ¦-¥-¨ï).

•®а¬ «м-л¥ ®бв®¢-л¥ ¤¥а¥¢мп п¢«повбп ¯а®бвл¬, -® ¬®й-л¬ ¨-бваг¬¥-⮬ ¢ в¥®а¨¨ £а д®¢. ˆ ®-¨ ¢б¥£¤ бгй¥бв¢гов.

“⢥ত¥-¨¥ 7.5. Š ¦¤ë© á¢ï§-ë© £à ä ᮤ¥à¦¨â -®à¬ «ì-®¥ ®á⮢-®¥ ¤¥à¥¢®, ¯à¨-

¤à¥¢¥á-®¬ ¯®à浪¥, ¨-¤ãæ¨à®¢ --®¬ T ( §- ç¨â, ¨ ¨-¤ãæ¨à®¢ --®¬ T 0), ¯®áª®«ìªã ⮣¤ P â ª¦¥ ï¥âáï T ¡¯ã⥬, T -®à¬ «ì-® ¢ G ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥-¨î. …᫨ -¥â, â® y ï¥âáï ª®-殬 ¤«ï P , ¯®í⮬ã P «¥¦¨â ¢ C, § ¨áª«îç¥-¨¥¬ ¤à㣮£® ª®-æ z, ª®â®àë© «¥¦¨â ¢ N(C).

‡- ç¨â, z · x ¢¢¨¤ã ¢ë¡®à x. „«ï -ã¦-®© - ¬ áà ¢-¨¬®á⨠y ¨ z ¤®áâ â®ç-® ¯®ª § âì, çâ® x < y, â. ¥. çâ® x 2 rT 0y. •® í⮠㦥 ®ç¥¢¨¤-®, ¯®áª®«ìªã y ¥áâì «¨áâ ¢ T 0, ᬥ¦-ë© á x. ¤ Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 7.6. ƒà ä G ¯®à浪 n á ¬-®¦¥á⢮¬ ¢¥àè¨- V = fv1; : : : ; vng - §®¢¥¬ ¯®¬¥ç¥--ë¬, ¥á«¨ ¢á¥ ¥£® ¢¥àè¨-ë "¯®¬¥ç¥-ë" 楫묨 ç¨á« ¬¨ ®â 1 ¤® n, â® ¥áâì áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨ï ' : fv1; : : : ; vng ! f1; : : : ; ng. —¨á«® '(vi) - §ë¢ ¥âáï ¬¥âª®© ¢¥àè¨-ë vi (i = 1; n). „¢ ¯®¬¥ç¥--ëå £à ä (G1; '1) ¨ (G2; '2) - §ë¢ îâáï ¨§®¬®àä-묨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®-

¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã £à ä ¬¨, ª®â®àë© á®åà -ï¥â à á¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¬¥â®ª.

19

•¨á 7.6.

20