Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Удмуртский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

решение.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2015

Размер:

404.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

10.lim(1 - x) × tg

x® 1

=	lim				y			=
=	lim				π y			=
	y	®	0 tg		π y
			0 tg			2
						2
		æ		x +	2		ö 3x
11. limç							÷
11. limç				x +	1		÷
x	® ¥	è		x +	1		ø

π x

é1 -

x =

yù

ê y ®

lim y × tgç

- y)÷

lim y × tgç

x = 1 - yú

y® 0

y®

π y

ê tg

lim

π y

π .

y® 0

при y ®

)

ö ( x+ 1) ×

x+ 1

lim

= limç

e x→ ∞

x+ 1

= e

x + 1

x® ¥ è

π y ö		= lim y × ctg	π y	=
	÷
2			2
	ø	y® 0

Глава 6. Производная функции в точке.

О п р е д е л е н и е .	Если существует lim		y	, то он называется производной в точке
О п р е д е л е н и е .	Если существует lim		D x	, то он называется производной в точке
		D x® 0	D x	dy
x0 и обозначается либо y′ , либо		f ′( x0 ) , либо		dy	, т.е.
				dx
		y¢ = lim		y
		y¢ = lim		D x
Здесь D x = x - x0 -		D x® 0		D x	точке x0 , D y = f ( x0 + D x) - f ( x0 ) -
Здесь D x = x - x0 -	приращение	аргумента		в	точке x0 , D y = f ( x0 + D x) - f ( x0 ) -

приращение функции в точке x0 .

Геометрически производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f ( x) в точке x0 . (см. рисунок)

y = f ( x)

секущая

касательная

Отметим,

что

если

функция

tgϕ = k =

′(

xx)

имеет производную, то

точке

x она непрерывна в этой точке.

+ x

y = f ( x)

Уравнение касательной к графику функции

точке с абсциссой x0 :

y = f ( x0 ) + f ′( x0 ) × ( x - x0 ) .

Таблица производных.

1. (C)′ = 0 ;

4. (a x )′ = a x ln a ;

2. (x

)

′

= α x

α - 1

;

5. (ln x)

x > 0 ;

3. (e x )′

= e x ;

6. (loga

x)¢

x > 0 ;

x ln a

7.(sin x)′ = cos x ;

8.(cos x)′ = - sin x ;

(tgx)¢ =

;

cos2

10.

(ctgx)¢ = -

;

sin 2

11.

(arcsin x)¢

;

1 - x2

12.

(arccos x)¢

;

1 - x2


13.	(arctgx)¢ =			1		;
13.	(arctgx)¢ =	1	+		x2	;
		1	+		x2
14.	(arcctgx)¢ = -				1		;
14.	(arcctgx)¢ = -			1 + x2			;
				1 + x2

15.(shx)′ = chx ;

16.(chx)′ = shx .

shx - синус гиперболический,

shx =	ex	- e− x	.
		2

chx - косинус гиперболический,

chx =	e x	+ e− x	.
		2

Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.

Функция y = f ( x) называется дифференцируемой в точке x , если ее приращение в этой точке можно представить в виде D y = AD x + α ( x)D x , где A - константа, α ( x) - бесконечно малая функция при x → 0 .

Линейная часть приращения функции называется дифференциалом и обозначается dy . dy = A x

Т е о р е м а . Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование ее производной в этой точке.

Таким образом, dy = y′dx , если y′ существует.

Правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

Пусть функции v( x)

u( x) дифференцируемы в точке

x . Тогда сумма (разность),

произведение и частное этих функций (при условии v( x) ¹

0 ) дифференцируемы в этой

точке и справедливы следующие формулы:

(u ± v)′ = u¢ ± v¢ ;

(u × v)′ = u¢v + uv¢ ;

æ u

′

¢v - uv¢

П р и м е р ы .

y =

e x ×

arctgx . Применим правило дифференцирования произведения:

)

× arctgx +

× (arctgx)

= e

arctgx +

1 +

x2 .

y =

cos x

. Применим правило дифференцирования частного:

ln x

cos x

(cos x)¢ × ln x -

cos x × (ln x)¢

sin x × ln x -

y¢

x .

(ln x)2

ln 2

y =

x × ln x +

. Имеем

ln x

x ö ′

x¢ × ln x - x × (ln x)′

y¢ = ( x

× ln x)

= x¢ × ln x + x × (ln x)

= ln x + 1 +

ln x - 1

ln2

ln 2

ln x ø

× cos x +

arcsin x

x ×

y¢ =

(x2

cos x +

arcsin x)′ ×

x × 2x

- (x2 × cos x +

arcsin x) ×

(x ×

2x )′

(x × 2x )2

çæ

(x2 )¢

× cos x +

× (cos x)¢

(arcsin x)¢ ÷ö × x ×

(x2

× cos x +

arcsin x) × çæ

( x)¢

× 2x

+ x × (2x )¢ ÷ö ′

y¢ =

x2 ×

22x

2x × cos x -

x 2 ×

sin x +

÷ × x × 2x - (x 2

× cos x +

arcsin x)× (2x

x × 2x ln 2)

y¢ =

x 2 × 22x

y =

+ x3

× ctgx . Перепишем функцию в виде:

7 +

−

4x− 1

+ x3 × ctgx . Воспользуемся правилами нахождения

производной произведения и суммы: y¢

− 6

7 +

−

4 × (-

× x− 2

(x3 )¢ × ctgx +

x3 × (ctgx)¢ =

3x2

× ctgx -

sin 2

x .

Производная сложной функции.

Пусть функция y = f ( z) имеет производную в точке z0 , а функция z = ϕ ( x) имеет производную в точке x0 , причем z0 = ϕ ( x0 ) . Тогда сложная функция f (ϕ ( x)) имеет производную в точке x0 и справедлива формула

y′x = y′z × z′x .

П р и м е р 1 . Найти производную функции y = tgx4 .

Эту функцию можно рассмотреть как суперпозицию двух функций y = tgz; z = x4 .

Тогда по формуле y	¢		1	× 4x	3		4x3
		= cos2 z				=	cos2 x4 .

Аналогичное правило справедливо для суперпозиции трех и большего конечного числа функций.

П р и м е р

2 .

y = ln(arcsin

). Здесь

y =

ln z;

z = arcsin v; v =

y¢ =

arcsin

2 arcsin

1 -

(

1 - x

Логарифмическая производная.

Рассмотрим

показательно-степенную

функцию

y = u( x)v( x)

где u( x), v( x) -

дифференцируемые функции. Прологарифмируем обе части уравнения:

ln y( x) = ln(u( x)v( x) ); ln y( x) = v( x) ln(u( x)) .

Продифференцируем обе части по переменной x :

v( x) × u′( x)

× y

¢( x) = v¢( x)

× ln u( x) +

y( x)

u( x)

Отсюда получим формулу: y¢( x)

y( x)

v × u′ ù

y =

× ê v¢ ln u

ú , или, т.к.

v × u′ ù

y¢

= u

× ê v¢ ln u

ú .

П р и м е р 1 . y = x x .

ln y = x ln x ;

y¢ =

ln x +

y¢ = x x (ln x + 1) .

П р и м е р

2 . y =

(sin x)

ln y =

ln sin x

y¢ =

ln sin x +

× cos x

sin x

(sin x)

cos x ö

y¢ =

ln sin x +

x ×

÷ .

sin x ø

Применение логарифмической производной.

Пусть k = k(t) - приближенная величина вклада в момент времени t . Можно ли определить (приближенно) ставку банковского процента r по функции k(t) . Если %

начисляются один раз за период времени			t , то проценты за период составят kr t ,
(считаем, что r - номинальная ставка за год,					t - доля года). Так как приращение
вклада и проценты по вкладам одно и тоже, то						D k
D k = krD t Þ					r =		.

Пусть k(t) имеет производную:						kD t

r »	k ′D t	=		k′	= (ln k)¢ .
				k
	kD t

Ставка банковского процента совпадает с логарифмической производной от величины вклада.

П р и м е р . Пусть k(t) = k0 (t + 1)1,5 , где k0 - величина вклада в начальный момент времени t = 0 ; t - число лет от открытия вклада.

Можно определить, как изменялась ставка % r = r(t) .

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.12.2018105.47 Кб37речевой материал_автоматиз.задне-и среднеязычны....doc
#
05.05.2019441.86 Кб5Решад.doc
#
13.05.201518.99 Кб42решение варианта 2.docx
#
13.05.2015924.87 Кб2881Решение задач по биологии и химии.pdf
#
13.05.2015380.29 Кб91решение по микроэкономике.docx
#
13.05.2015404.88 Кб50решение.pdf
#
31.08.2019196.1 Кб2ржев.doc
#
13.05.201577.82 Кб2Римское.doc
#
13.05.2015101.89 Кб15Ритуал и правила поведения в Японии.doc
#
17.03.2016701.95 Кб36Ричард Бендлер.Используйте свой мозг для изменений.doc
#
10.11.20191.94 Mб7Роджерс4.doc