Глава 5. Предел функции в точке. Раскрытие неопределенности. Правила раскрытия неопределенностей. Непрерывность функции в точке.

для всех

x , удовлетворяющих условию 0 <

x - x0

< δ выполняется неравенство:

f ( x) - A

<

ε .

если существует

lim f ( x) = A,

lim g( x) =

B то

lim( f ( x) + g( x)) =

A + B .

x→ x0

x→ x0

x→ x0

2.

Если существует

lim f ( x) = A,

lim g( x) =

B , то существует предел произведения и

x→ x0

x→ x0

равен произведению пределов, т.е. lim( f ( x) × g( x)) = A × B .

x→ x0

В частности, постоянный множитель

можно выносить за знак предела, т.е.

lim cf ( x) = c lim

f ( x) .

x→ x0

x→ x0

3.

Если

lim f ( x) =

A, lim g( x) =

B,

B ¹ 0 ,

то

предел частного

равен

частному

x→ x0

x→ x0

lim

f ( x)

=

A

g( x)

B .

пределов, т.е. x→

x0

О п р е д е л е н и е .

Функция α ( x)

называется бесконечно малой при x ®

x0 если ее

предел равен нулю:

lim α ( x) = 0 .

x

→ x0

4. Если α ( x) есть бесконечно малая, то

1

есть бесконечно большая.

α ( x)

О п р е д е л е н и е . Функция

f ( x) называется бесконечно большой при x ® x0 , если

для любого, сколь угодно большого числа M >

0 , найдется такое δ >

0 , что для всех x ,

удовлетворяющих условию 0 <

x - x0

< δ

верно неравенство:

f ( x)

> M .

Запись этого факта следующая:

lim f ( x) =

¥ .

x→ x0

О п р е д е л е н и е .

Две

бесконечно

- малые функции α ( x)

и

β ( x)

называются

эквивалентными при x ®

lim

α ( x)

= 1

.

β ( x)

x0 , если x→ x0

Записывается это так: α ( x) ~ β ( x), x ®

x0 .

Примеры эквивалентных функций:

sin x

~

x, x → 0 ,

tgx

~

x, x → 0 ,

arcsin x

~

x, x → 0 ,

arctgx

~

x, x → 0 ,

1 - cos x

~

x2

, x ®

0 ,

2

ln(1 + x)

~ x, x ® 0 ,

e x - 1 ~ x, x ® 0 .

Т е о р е м а .

Если

α ( x) ~ α 1 ( x), x ®

x0 ,

β ( x)

~

β 1 ( x), x ® x0 ,

то

lim

α ( x)

=

lim

α 1

( x)

β 1

( x) .

x→ x0

β ( x)

x→ x0

Непрерывность функции в точке.

Пусть функция y =

f ( x)

определена в окрестности точки x0 , включая саму точку x0 .

Функцию назовем непрерывной в точке

x0 , если lim f ( x)

= f ( x0 ) .

x→ x0

Пусть функция

f ( x) определена в окрестности точки x0 , кроме, может быть самой

точки x0 . Точку x0

назовем точкой разрыва если:

1. Функция f ( x)

не определена в этой точке;

2.

Функция f ( x)

определена в точке x0 , но не существует предела lim f ( x) ;

x

→ x0

3.

Предел

lim f ( x)

lim f ( x) ¹

f ( x0 )

.

x→ x0

существует, но x→

x0

lim

f ( x)

=

f

( x0 -

0)

и справа

lim

f (

x) =

f ( x0 +

0)

,

Если существуют пределы слева x→ x0 − 0

x→ x0

+ 0

то

x0 - точка разрыва 1-го рода, а разность

D f ( x0 ) = f ( x0 + 0) -

f ( x0

- 0) называется

скачком.

lim

f

( x)

lim

f ( x)

Если в точке x0 не существует хотя бы один из пределов

или

, то

x→ x0 −

0

x→ x0 +

0

x0

называется точкой разрыва 2 рода.

П р и м е р ы .

1.

y = 1 .

x =

x

0 - точка разрыва функции 2 рода.

Свойства функций, непрерывных в точке.

1.

Если f ( x)

и g( x) непрерывны в точке x0 , то Cf ( x) , где C - константа;

f ( x) +

g( x) ;

f ( x) × g( x)

непрерывны в точке x0 . Если,

кроме того,

если

g( x0 ) ¹

0 , то

f ( x)

g( x)

непрерывна в точке x0 .

2.

Если y =

f (u)

непрерывна в точке u0 , а u =

ϕ ( x) непрерывна в точке x0

, то сложная

функция y =

f (ϕ ( x)) непрерывна в точке x0

æ

lim ϕ ( x)

ö

и lim f (ϕ ( x)) = f ç

÷ .

x→ x0

è

x→ x0

ø