Пример решения задачи 3
Условие задачи
По чертежу изготовлена партия круглых стержней, имеющих диаметр 121,5мм, и из неё сделана выборка в количестве 5 штук. Измерен диаметр каждого стержня: 10,5мм – 1шт.; 11мм – 1шт.; 11,5 – 1шт.; 12мм – 1шт.; 13мм – 1шт.
Определить годность всей партии деталей по заданной выборке, для чего сделать следующее:
построить гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения размеров стержней в партии;
провести статистическую обработку результатов измерений: определить доверительный интервал значений измерений диаметров стержней и сделать заключение о годности всей партии стержней путём сравнения границ доверительного интервала с величиной поля допуска номинального размера.
Исходные данные: N=5 штук; номинальный диаметр d=12мм; ITq=3 мм; es=1,5мм; ei=-1,5мм; dmin=d1=10,5мм; d2=11мм; d3=11,5мм; d4=12мм; dmax=d5=13мм.
Решение
1. Располагаем полученные в процессе 5 измерений действительные значения di в порядке возрастания их величины в ранжированный ряд случайных дискретных величин: 10,5; 11; 11,5; 12; 13.
2. Диапазон рассеивания R определяется как разность между максимальной dmax=13мм и минимальной dmin=10мм величинами действительных значений измерений:
R = d max – d min =13 –10=3 мм.
3. Полученное значение диапазона рассеивания разбиваем на 4 интервала по числу групп одинаковых размеров и рассчитываем дискретный шаг p (мм) интервалов по формуле:
p = R/k =3/4=0,75.
4. Для каждого интервала подсчитываем число измерений nj, имеющих величину, находящуюся в пределах границ этого интервала, а также частость числа измерений nj /(N – 1) в данном интервале.
Результаты измерений и подсчётов заносим в таблицу 4.
Таблица 4 – Пример записи значений случайной величины при N=5 и k=4
Номер измерения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | ||
di(итое) |
10,5 |
11 |
11,5 |
12 |
13 | ||
dj(житое) |
10,5 |
11,25 |
12 |
13 | |||
nj(житое) |
1 |
2 |
1 |
1 | |||
nj /(N – 1) |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
0,25 |
где di – измеренное значение i-той детали;
dj – среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала;
nj /(N – 1) – частость числа измерений в данном интервале (доли от единицы или проценты).
5. По экспериментальным данным строят гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения значений случайной величины.
Гистограмма – график, в прямоугольных осях «частость – диапазон рассеивания измеренных значений», состоящий из вертикальных прямоугольников различной высоты и эмпирической ломаной кривой, соединяющей серединки верхних перекладин прямоугольников, отображающей закон распределения измеряемых случайных величин.
Интервалы в диапазоне рассеивания размеров – отрезки оси абсцисс, делящие диапазон рассеивания на равные части.
Диапазон рассеивания размеров – разность между максимальным и минимальным размерами.
Построение гистограммы проводят следующим образом.
1) Длина оси абсцисс на рисунке может составлять примерно три четверти ширины страницы. Выбирают масштаб оси абсцисс: диапазон рассеивания R размеров может занимать на оси абсцисс чуть больше трёх четвертей её длины. Масштаб в этом случае:
Мабсцисс=R (мм)/ длина оси абсцисс на графике (см).
2) Высота оси ординат на рисунке может составлять примерно 5/8 от длины оси абсцисс. Выбирают масштаб оси ординат: максимальная величина частости может занимать примерно три четверти высоты оси ординат. Масштаб в этом случае:
Мординат= nj /(N – 1)max / высота оси ординат на графике (см).
3) На середине оси абсцисс отмечают точку, соответствующую серединке перекладины прямоугольника, обозначающего интервал значений измеряемой величины, в котором находится номинальное значение. Вправо и влево откладывают минимальное и максимальное значения и отрезок оси между ними делят на количество интервалов.
4) Над каждым интервалом строят прямоугольник, соответствующий величине рассчитанной частости. Строят эмпирическую ломаную кривую, соединяя верхние серединки перекладин.
Рисунок – Пример построения гистограммы
6. Определяют среднее арифметическое значение всех замеренных действительных значений величин:
7. Рассеяние значений случайных величин в выборке N относительно эмпирического (опытного) группирования их по интервалам характеризуется уточнённым эмпирическим средним квадратическим отклонением, которое определяется по формуле:
= =1,04мм,
где – среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала:
=10,5; 11,25; 12; 13мм.
8. По результатам выборки устанавливают границы, внутри которых с определённой вероятностью будет находиться математическое ожидание F(x) случайной величины x. Эти границы определяют доверительный интервал, который зависит от доверительной вероятности β. В общем случае при малой выборке и различной доверительной вероятности доверительный интервал в своих меньшей и большей границах выразится следующими неравенствами:
,
где - среднее квадратическое отклонение для распределения средних арифметических величин:
=мм.
tδ – критерий Стьюдента, который для β=0,9 (90%-ная доверительная вероятность) при данном числе степеней свободы К (приведён в таблице 2).
Для нашего примера принять tδ=2,9.
Подставив значения и сделав расчёт, получим значения доверительного интервала, мм:
11,4 – 2,9×0,26 ≤ F(x) ≤ 11,4 + 2,9×0,26 ,
или в числовом выражении:
10,65 ≤ F(x) ≤ 12,15.
9. Сравнивают границы доверительного интервала с возможными величинами разброса результатов измерений (допуск на размер, если он задан в условии задачи). Если границы доверительного интервала не выходят за пределы поля допуска, то партия деталей считается годной с доверительной вероятностью β.
В нашем примере нижняя граница доверительного интервала больше по величине, чем dmin, то есть 10,65 больше 10,5, а также верхняя граница доверительного интервала меньше по величине, чем dmax, то есть 12,15 меньше 13.
Для сравнения строим в примерном масштабе схему поля допуска заданного размера и на ней наносим поле доверительного интервала.
10. Ответом на решение задачи является вывод о годности партии деталей: партия деталей годна.