1.3.15. Функционально полные наборы логических элементов

Функционально полным называется такой набор ЛЭ, на которых (из которых) можно построить любое логическое устройство сколь сложно оно ни было бы. Функциональная полнота некоторого набора логических элементов, в свою очередь, определяется полнотой некоторой системы логических функций, которые являются логико-математическими моделями выбранного набора ЛЭ.

В булевой алгебре существует теорема Поста-Яблонского, согласно которой устанавливаются критерии полноты некоторой системы логических функций. Сущность этой теоремы сводится к следующему.

Некоторая система логических функций будет полной, если она содержит:

а) функцию, не сохраняющую логическую константу 0,

f (x₁, x₂, x_n) = f (0, 0, 0)  0;

б)функцию, не сохраняющую логическую константу 1,

f (x₁,x₂,x_n) =f (1, 1,1)1;

в) функцию, не являющуюся самодвойственной,

;

г) функцию, не являющуюся линейной,

f (x₁, x₂, x_n)  х₁  х₂   х_n х₁ х₂    х₁ х₂x_n;

д) функцию, не являющуюся монотонной.

Если Х₁ есть некоторый фиксированный набор значений аргументов функции f (x₁,x₂,x_3,x₄), например Х₁ = <x₁, x₂, x_3, x₄> = <1,1,0,1>, а Х₂ = <x₁, x₂, x_3, x₄> = <0,0,0,1>  другой набор этих аргументов, то можно считать, что Х₁ > Х₂, т.е. набор Х₂ меньше набора Х₁.

70