- •ФУНКЦИИ, ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ
- •СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ
- •ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
- •ПРОИЗВОДНЫЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
- •НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- •ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
- •ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- •КИНЕМАТИКА
- •ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Некоторые физические определения, используемые при решении задач
- •Алгоритм решения задач
- •ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Задачи для самостоятельного решения
- •ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Задачи для самостоятельного решения
- •ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Задачи для самостоятельного решения
- •МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
- •ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Динамическое уравнение для этого состояния имеет вид
- •Задачи для самостоятельного решения
- •ВОЛНЫ
- •ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Задачи для самостоятельного решения
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования
«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
Кафедра физики
МЕХАНИКА. КОЛЕБАНИЯ. ВОЛНЫ
Методические указания к решению задач по курсу «Физика»
для студентов специальностей 1-26 02 03, 1-40 01 02, 1-27 01 01 инженерно-экономического факультета
Минск БГУИР 2010
УДК 531+534(076.1) ББК 22.2+22.336я73
М55
С о с т а в и т е л и:
А. В. Березин, З. А. Боброва, Н. Р. Последович
Р е ц е н з е н т:
доцент кафедры физики БГУИР, кандидат физико-математических наук С. В. Родин
Механика. Колебания. Волны: метод. указания к решению задач по
курсу «Физика для студ. спец. 1-26 02 03, 1-40 01 02, 1-27 01 01
инж.-эконом. факультета / сост.А. В. Березин, З. А. Боброва, Н. Р. Последович. – Минск : БГУИР, 2010. – 57 с.: ил.
ISBN 978-985-488-608-4.
Предназначены для организации самостоятельной работы студентов инженер- но-экономических специальностей БГУИР на практических занятиях по темам: механика, колебания, волны. По каждому разделу дано подробное описание решения пяти задач и приведены условия задач для самостоятельного решения.
УДК 531+534(076.1)
ББК 22.2+22.336я73
ISBN 978-985-488-608-4 |
© Березин А. В., Боброва З. А., |
|
Последович Н. Р., 2010 |
|
© УО «Белорусский государственный |
|
университет информатики |
|
и радиоэлектроники», 2010 |
2
ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
A, α – альфа; B, β – бета; ? , γ – гамма; ∆, δ – дельта; Ε, ε – эпсилон; Ζ, ζ – дзета; Η, η – эта; Θ, θ – тэта; Ι, ι – йота; Κ, κ – каппа; Λ, λ – ламбда; Μ, µ – мю; Ν, ν – ню; Ξ, ξ – кси; Ο, ο – омикрон; Π, π – пи; Ρ, ρ –
ро; Σ, σ – сигма; Τ, τ – |
тау; V, υ – ипсилон; Φ, |
ϕ – фи; Χ, χ – хи; |
Ψ, |
ψ – |
||||||||||||||
пси; Ω, ω – омега. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ФУНКЦИИ, ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ |
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть y = f (x) − функция, заданная в окрестности некоторой точки x0 на |
||||||||||||||||||
числовой оси x, и пусть ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) |
– ее приращение в окрестности |
|||||||||||||||||
этой точки, соответствующее приращению аргумента ∆x = x − x0 . |
|
|
|
|||||||||||||||
Предел отношения |
|
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) |
= lim ∆y |
|
|
|
|
|||||||||||
|
f ′(x ) = lim |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
∆x→0 |
∆x |
|
|
|
∆x→0 ∆x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
называется производной функции y = f (x) в точке |
x0 . |
Другие обозначения |
||||||||||||||||
производной в точке x → f ′(x), df (x) , |
|
d |
f (x), |
|
dy |
, |
y′x , |
y . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Производная есть мера скорости изменения y относительно x . Пусть |
||||||||||||||||||
y = f (x1, x2 , ..., xn ) – действительная функция n переменных x1, |
x2 , ..., xn . Ча- |
|||||||||||||||||
стная производная первого порядка функции |
|
y = f (x1, |
x2 , ..., xn ) по |
x1 |
есть |
|||||||||||||
предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x1 + ∆x1, x2, ..., |
xn ) − f (x1, x2, |
..., xn ) |
≡ |
|
∂f |
≡ |
∂y |
|
≡ f ′ |
(x , |
x , ..., x |
) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∆x1→0 |
∆x |
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
x |
1 |
2 |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Эта производная есть мера скорости изменения y относительно x1 при фикси-
рованных значениях остальных независимых переменных. Аналогично определяются частные производные по x2 , x3, ..., xn . Каждая частная производная
∂f может быть найдена посредством взятия производной от функции
∂xk
f (x1, x2 , ..., xn ) по xk , если остальные n −1 независимых переменных рассматриваются как постоянные.
СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ
Пусть заданы две независимые функции f (x) и g(x). Тогда:
1.( f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x) .
2.( f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x) + f (x) g′(x) .
3
3. |
|
f (x) |
′ |
f ′(x) g(x) − f (x) g′(x) |
. |
||
|
|
= |
|||||
g(x) |
|
||||||
|
|
|
|
g2 (x) |
Второй производной функции |
y = f (x) по x называется производная от |
|||
первой производной по x |
f ′(x) = |
d 2 y |
≡ y′ и читается d два y по dx дважды. |
|
dx2 |
||||
|
|
|
||
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ |
||||
Функция y = f (x) |
называется дифференцируемой в точке x , если ее при- |
ращение ∆y , соответствующее приращению аргумента ∆x в этой точке, может быть представлено в виде ∆y = A∆x + α(∆x)∆x , где A = const, α(∆x) – бесконечно малая функция при ∆x → 0 . Главная часть A∆x приращения ∆y , линейная относительно ∆x , называется дифференциалом функции y = f (x) в точке x и обозначается dy , df (x) или df . Коэффициент A равен первой производной от функции f (x) → A = f ′(x) и dy = f ′(x)∆x или dy = f ′(x)dx , так как dx = ∆x . Применение дифференциала к приближенным вычислениям основано на ис-
пользовании |
|
|
|
|
приближенных |
|
|
|
|
равенств: |
|
|
|
∆y = dy |
|
|
; |
f (x0 + ∆x) ≈ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРОИЗВОДНЫЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
3. (x) |
n |
= nx |
n−1 |
|
4. |
1 |
′ |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1. |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. (C) (const) = 0. 2. (x) |
|
|
|
|
. |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 ′ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
′ |
|
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
. 6. ( |
|
|
|
x ) = |
|
|
|
|
. |
|
7. ( |
|
|
x ) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
. 8. (e |
|
|
) |
= e |
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
nn xn−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
nx |
′ |
|
nx |
|
|
|
|
|
x |
|
′ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. (e |
|
|
= ne |
|
|
. 10. (a |
|
|
|
= a |
|
lnα. |
11. (ln x) |
= x . 12. |
|
|
|
|
|
|
= cos x. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
) |
|
|
|
|
) |
|
|
(sin x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
[(sinCx)′ = C cosCx]. 14.(cos x)′ = −sin x. 15. (tgx)′ = |
|
1 |
|
|
|
= sec2x. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
(ctgx)′ = − |
|
1 |
= −cosec2x. |
|
|
17. (arccos x)′ = − |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
18. (arctgx)′ = |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1− x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19.(arcctgx)′ = − |
1 |
|
|
|
. 20. |
u |
′ |
|
|
|
|
vu′−uv′ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1+ x2 |
|
|
|
|
v 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4