12_0_1_63762
.pdfМинистерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
Международный государственный экологический
университет имени А. Д. Сахарова
Кафедра автоматизированной обработки информации
А. И. Митюхин
ЭЛЕМЕНТЫ КОНЕЧНОЙ АЛГЕБРЫ
Учебно-методическое пособие по курсам ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ,
ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ для студентов специальности «Информационные технологии в экологии» дневной и заочной форм обучения
Минск
2010
УДК 621.391.37/39(075.8)
ББК 32.973. я 73 М 66
Рекомендовано к изданию НМС МГЭУ им. А.Д.Сахарова (протокол № 6 от 16 марта 2010 г.)
Автор:
А. И. Митюхин, доцент кафедры автоматизированных систем обработки информации МГЭУ им. А. Д. Сахарова
Рецензенты:
доцент кафедры сетей и устройств телекоммуникаций БГУИР к.т.н. Астровский И. И.;
зав. кафедрой автоматизированных систем обработки информации МГЭУ им. А. Д. Сахарова, к.т.н. Кереселидзе Е. В.
Митюхин, А. И.
М66 Элементы конечной алгебры : уч.-метод. пособие по дисциплинам «Защита информации», «Основы защиты информации» для студентов специальности «Информационные технологии в экологии» дневной и заочной форм обуч. / А. И. Митюхин. ‒ Минск : МГЭУ им. А. Д. Са-
харова, 2010. ‒ 44 с. : ил.
ISBN 978-985-6931-54-6.
В учебном пособии изложены элементы специального раздела современной дискретной математики, используемой в информационных технологиях, мультимедиа приложениях, при разработке и проектировании радиоэлектронных систем различного назначения, компьютерной техники.
Рассмотрены элементарные сведения теории множеств, групп, колец, полей Галуа. Эти конструкции конечной алгебры лежат в основе теории криптологии, прикладного кодирования, теории дискретных унитарных и теоретико-числовых преобразований, цифровой обработки сигналов. Приведены примеры решения задач, упражнения, контрольные вопросы и задачи.
|
УДК 621.391.37/39(075.8) |
|
ББК 32.973. я 73 |
ISBN 978-985-6931-54-6 |
© Митюхин А. И., 2010 |
|
© Международный государственный |
|
экологический университет |
|
имени А. Д. Сахарова, 2010 |
2
Введение
Основой построения наиболее важных известных кодов, корректирующих ошибки, является их алгебраическая структура. Существование особых структурных закономерностей в строении таких кодов желательно по двум причинам:
‒они облегчают изучение свойств кода;
‒обеспечивают возможность практической реализации кодов на аппаратно ‒ программном уровне.
В современной дискретной математике под алгеброй понимается наука о множествах произвольных математических объектов, между которыми установлены алгебраические операции.
3
1 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
1.1 Понятие множества
Под множеством понимается некоторая определенная совокупность объектов или элементов. Конечные множества можно описывать, перечисляя их элементы. Например, ={ , , } есть множество, содержащее буквы , , . При перечислении множества часто используется описание характеристического свойства элементов этого множества. Например, H = {α0, α1, α2, …, αn-1} описывает множество степеней элемента α, где {0, 1, 2, …, n} ‒ множество положительных целых чисел.
Множество задается путем указания характеристического свойства, т. е. свойства, которому удовлетворяют элементы этого множества. Для задания множества используют запись { : обладает свойством Р} – множество содержит только те элементы, которые обладают свойством Р.
Определение 1.1. Если есть один из объектов множества G, говорят, принадлежит G. Принадлежность множеству G записывается как
G. Если не является элементом G, это записывается как G. На-
пример, α2 {α0, α1, α2, …, αn-1}, но αn G.
Определение 1.2. Множество есть подмножество множества (обозначается ), если каждый элемент принадлежит множеству G, т. е. если , то G. Если не является подмножеством G, то это записывается как G.
Например, {0, 3} {0, 1, 2, 3, 4, 5}, но {0, 3, 6} {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Множества равны, если они содержат одни и те же элементы.
Определение 1.3. Пусть G и – некоторые множества. G = , если для любого имеем: G тогда и только тогда, когда .
Замечания:
–порядок перечисления элементов множества роли не играет. На-
пример, {0, 1, 2, 3, 4, 5} = {0, 2, 1, 3, 4, 5};
–каждый элемент множества может входить во множество не более одного раза.
Определение 1.4. Пустое множество есть множество, которое не содержит элементов (обозначается Ø). Универсальное множество, или универсум, обозначаемое , есть множество, обладающее таким свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
Например, множество всех целых или натуральных чисел есть универсальное множество. В математическом анализе универсальное множество есть множество действительных чисел. В теории кодирования множество всех векторов n-мерного пространства образует универсальное множество.
4
1.2 Операции над множествами
Рассмотренные ниже операции над множествами позволяют строить новые множества, используя существующие.
Определение 1.5. Пересечением множеств G и называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и G, и . Пересечение множеств обозначается G ∩ . Определение записывается как G ∩ = : и .
Например, если G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} и ={0, 3, 6}, то G ∩ ={0, 3}.
Замечание ‒ В описании пересечения множеств G и использована связка «и». В дальнейшем убедимся, что символу ∩ соответствует символ логической схемы «И» ‒ &.
Пересечение множеств в общем случае определяется следующим образом.
Определение 1.6. Если = 1, 2, … , , то = 1 ∩ 2 ∩ 3 ∩
… ∩ = : для всех i .
Объединением множеств G и называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств G или . Объединение множеств G и обозначается G . Определению соответствует запись H = : или H .
Например, если G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} и ={0, 3, 6}, то G = ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Замечание ‒ В описании объединения множеств G и использова-
на связка «или». В дальнейшем убедимся, что символу соответству-
ет символ логической схемы «ИЛИ» ‒ 1.
Объединение множеств в общем случае определяется следующим
образом. |
|
|
|
|
Определение 1.7. Если = |
1, 2, … , , то |
= 1 2 |
3 |
|
… = |
: для всех i . |
|
|
Определение 1.8. Пусть G и множества. Разностью множеств и называется множество всех тех элементов , которые не содержатся в . Определению 1.8 соответствует запись − H = : и H .
Например, если ={0, 1, 2, 3, 4, 5} и ={0, 3, 6}, то – = {1, 2, 4, 5}.
Симметрическая разность множеств и (обозначается ∆ ) есть множество ( – ) ( – ).
Например, если ={0, 1, 2, 3, 4, 5} и ={0, 3, 6}, то – ={1, 2, 4, 5}, ( – ) = {6}. ∆ ={1, 2, 4, 5, 6}. Симметрическая разность множестви состоит из тех элементов, которые принадлежат или множеству , или .
5
Замечание ‒ В описании симметрической разности множеств G и
использована связка «или». В дальнейшем убедимся, что символу ∆
соответствует символ логической схемы «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» – .
Определение 1.9. Дополнение множества , обозначаемое ‒ это множество элементов универсума, которые не принадлежат .
= − = { : и }.
Например, |
если |
|
– множество положительных целых чисел, |
а = {2, 4, 6, |
…} |
− |
множество четных положительных чисел, то |
={1, 3, 5, …} − множество нечетных положительных чисел.
Теорема 1.1. Для произвольных множеств и справедливо равенство – = ∩ .
Доказательство следует из определений разности – , дополнения= G – H и пересечения ∩ .
Теорема 1.2. Для множеств , , справедливы равенства
) ∩ = ∩ ∩ ;) ∩ = ∩ .
Широко используемой операцией над множествами является декартово произведение или прямое произведение множеств.
Определение 1.10. Декартово произведение множеств и , обозначаемое × , есть множество {( , ): и }. Объект ( , ) называется упорядоченной парой с первой компонентой х и второй компонентой у.
Множество × состоит из всех упорядоченных пар ( , ), при этом имеет значение порядок компонент. Если элементы множеств и
представляют собой действительные числа, |
то × есть декартова |
||||||||
плоскость. Если содержит элементов, |
а содержит элементов, то |
||||||||
множество × состоит из элементов. |
|
|
|
|
|||||
Пример 1.1. Пусть = |
1, 2, 3, 4 , = |
1, 2 . Тогда |
|
||||||
× = |
1,1 , 1, 2 , |
2, 1 , |
2, 2 |
, |
3, 1 , |
3, 2 , |
4, 1 , |
4,2 . |
|
Декартово произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× = |
1,1 , 1,2 , |
1,3 , |
1,4 |
, |
2,1 , |
2,2 , |
2,3 , |
2,4 . |
|
Декартово произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× = |
1,1 , |
1,2 , |
2,1 , |
2,2 . |
|
1.3. Диаграммы Венна
Диаграммы Венна позволяют иллюстрировать операции над множествами. Множества в диаграммах Венна изображаются внутренними частями кругов, их пересечениями, объединениями и пр. На рисунке 1.1
6
приведена диаграмма Венна для множества . На рисунке 1.2 показана диаграмма Венна для двух множеств: и . Как видно, множества пересекаются.
G
G H
Рисунок 1.1 Рисунок 1.2
Множеству ∩ соответствует закрашенная часть кругов на рисунке 1.3. Множеству соответствуют закрашенные области кругов на рисунке 1.4.
G |
H |
G |
H |
|
Рисунок 1.3 |
|
Рисунок 1.4 |
Разность множеств и – ( − H) представлена множеством в виде закрашенной области на рисунке 1.5.
G H
Рисунок 1.5
Теорема 1.3. Пусть , и – подмножества универсального множества . Тогда справедливы
1)законы идемпотентности
∩ = ;
= .
2)свойства коммутативности
∩ = ∩ ;
= .
7
3)свойства ассоциативности
∩ ( ∩ )= ( ∩ ;
( )= ( ) .
4)свойства дистрибутивности (распределительный закон)
∩ ( )= ( ∩ ) ( ∩ );
( ∩ )= ( ) ∩ ( ).
5)двойное дополнение
= .
6)свойства тождества
= ;
∩ = .
7)свойства дополнения
= ;
∩ = .
8)законы де Моргана
(A B) = ∩ ; (A ∩ B) = .
1.4.Булевы алгебры
Всовременной математике под алгеброй понимается наука о множествах произвольных математических объектов, между которыми установлены алгебраические операции.
Определение 1.11. Алгебраическая операция – это правило, которое произвольному набору элементов данного множества ставит в однозначное соответствие строго определенный элемент этого же множества.
Определение 1.12. Бинарная операция определяет для каждой упорядоченной пары элементов множества элемент этого же множества.
1.4.1. Аксиомы булевой алгебры
Булева алгебра – это область математики, которая занимается логическим анализом. Свое название эта алгебра получила в честь Дж. Буля, основоположника математической логики. Операции и законы булевой алгебры применяются к логическим символам так же, как обычная алгебра оперирует символами, представляющими численные величины. Булевы алгебраические структуры широко используются в синтезе и конструировании логических электронных схем.
Определение 1.13. Булева алгебра есть множество , содержащее элементы 0 и 1, на котором заданы бинарные операции логического сложения и логического умножения. Для всех элементов множества= { , , } должны выполняться следующие аксиомы:
8
1)ассоциативности
( ) = ( ;
+ ( + ) = ( + )+ .
2)коммутативности
= ;
+ = + .
3)дистрибутивности
( + ) = + ;
+ ( ) = ( + ( + ).
4)тождества
+ 0 = ;
1 = .
5)дополнения
+ = 1;
= 0.
Элемент 1 называется единичным элементом; элемент 0 называется нулевым элементом; элемент называется дополнением .
Теорема 1.4. Для элементов и булевой алгебры выполняются следующие законы:
а) идемпотентности
+ = ;
= .
б) свойства констант
+ 1= 1;
0 = 0.
в) законы поглощения
+ ( ) = ;
( + ) = .
Теорема 1.5. Для элементов и булевой алгебры выполняются соотношения:
а) закон инволюции
= .
б) дополнения законов тождества
0 = 1;
1 = 0.
в) законы де Моргана
+ = a ;
= a + .
Замечание – Каждая аксиома булевой алгебры состоит из пары равенств, которые являются двойственными в том смысле, что, если в од-
9
ном равенстве заменить логическое сложение + на логическое умножение и на +, 0 на 1 и 1 на 0, получим другое равенство. Для примера рассмотрим первый из законов де Моргана + = a . Легко убедиться, что двойственное к нему соотношение = a + .
Вновь рассмотрим теорему 1.3 теории множеств. Сравнивая ее теоремами булевой алгебры, можно сформулировать следующий вывод: подмножества , и образуют булеву алгебру, где операции пересечения ∩ и объединения аналогичны логическим операциям + и соответственно. Элементами этих подмножеств являются единичный и нулевой элементы.
1.5. Отношения
Ранее была рассмотрена такая операция над множествами, как декартово произведение.
Определение 1.14. Подмножество R декартова (прямого) произведения × множеств и называется бинарным отношением на паре множеств , . Если ( и ) (записывают как ), то говорят, что элемент связан с элементом отношением . Если = , то отношение есть подмножество × .
Пример 1.2. Пусть = |
1, 2, 3, 4 , = 1, 2 . Декартово произведе- |
ние множеств и равно |
|
× = 1,1 , 1, 2 , |
2, 1 , 2, 2 , 3, 1 , 3, 2 , 4, 1 , 4,2 . |
Выпишем упорядоченные пары на множествах , , принадлежащие отношению
= {( , ) : + = 5}.
Тогда = {(3, 2), (4,1)} есть отношение множеств и . Множество × содержит восемь элементов, поэтому существует
28 = 256 подмножеств множества × . Следовательно, имеется 256 отношений на × .
Пример 1.3. Выписать упорядоченные пары, принадлежащие отношению на множествах = {1, 3, 5, 7} и = {2, 4, 6}, если = {( , ) : < }.
Решение. = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3,4), (3,6), (5,6)} есть отношение множеств и .
1.5.1. Свойства отношений
Рассмотрим отношения, заданные на одном множестве . Определение 1.15. Отношение на множестве × :
– рефлексивно, если ( , ) для всех из ; ‒ антирефлексивно, если из ( , ) следует ≠ ;
10