- •Раздел 1. Основные элементы функционального анализа. Функциональные пространства
- •§1.1. Линейное пространство
- •§1.3. Евклидово пространство
- •§1.4. Метрические пространства
- •§1.6. Пространство Гильберта
- •§2.2. Линейные операторы в конечномерных линейных пространствах и их матрицы
- •§2.3. Интегральные и дифференциальные операторы. Функционалы
- •Раздел 3. Специальные функции и их приложения
- •§3.1. Определенные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства
- •§ 4.1. Решетчатые функции. Z -преобразование и его свойства
- •§5.2. Простейшая задача вариационного исчисления
- •§6.2. Классификация и приведение к каноническому виду линейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными в окрестности точки
3. Линейные операторы в гильбертовом пространстве
Наиболее полно теория операторов разработана для случая линейных операторов в гильбертовом пространстве. В частности, теория линейных функционалов.
Определение 2.8. Линейным функционалом в гильбертовом пространстве H называется линейный оператор, отображающий H во множество чисел (вещественных или комплексных).
Построение наиболее важного примера линейного функционала: если x0 – фиксированный вектор гильбертова пространства H, то формула f(x) (x, x0) задает линейный функционал на H .
Иными словами, это линейное отображение из некоторого пространства функций во множество чисел действительных или комплексных.
Раздел 3. Специальные функции и их приложения
§3.1. Определенные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства
Пусть функция f (x, y) определена в прямоугольнике
P (x, y) | a x b, c y d .
Предположим, что при каждом фиксированном y из [c, d] существует
b
f (x, y)dx.
a
Ясно, что каждому значению y из [c, d] будет отвечать свое, вполне оп-
b
ределенное значение этого интеграла. Следовательно, f (x, y) dx представляет
a
собой функцию переменной (параметра) y,определенную в промежутке [c, d]. Введем обозначение
b |
|
|
I(y) f (x, y) dx, |
y [c, d]. |
(3.1) |
a
Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции f (x, y), получить информацию о свойствах функции I (y). Эти свойства, как будет показано ниже, имеют широкое применение, в особенности при вычислении интегралов.
Допустим также, что при каждом фиксированном x из промежутка [a, b]
d
существует f (x, y) dy. Тогда этот интеграл будет представлять собой функ-
c
цию переменной (параметра) x, определенную в промежутке [a, b]. Обозначим
29
ее через I (x) так, чтобы
d |
|
I(x) f (x, y) dy. |
(3.2) |
c
Таким образом, интегралы (3.1) и (3.2) являются интегралами по параметру.
Свойства интегралов по параметру Теорема 3.1 (о допустимости предельного перехода по параметру под
знаком интеграла).
Пусть функция f (x, y) непрерывна в прямоугольникеP(т. е. принадле-
жит пространству C(P)) и пусть y0 – любое из [c, d]. Тогда
b |
b |
|
b |
|
|
|
lim |
f (x, y) dx lim |
f (x, y) dx f (x, y0) dx, |
y0 |
[c,d]. |
||
y y0 a |
a y y0 |
a |
|
|
|
|
И, если |
f (x, y) C(P) и |
x0 – любое из [a, b], то |
|
|
||
d |
d |
|
d |
|
|
|
lim f (x, y) dy lim |
f (x, y) dy f (x0, y) dy, |
x0 |
[a,b]. |
|||
x x0 c |
c x x0 |
c |
|
|
|
|
Теорема 3.2 (о непрерывности интеграла как функции параметра). |
||||||
|
|
|
b |
|
|
|
Пусть f (x, y) C(P) и I(y) f (x, y) dx, |
y [c, d]. |
|
||||
Тогда I(y) C [c, d]. |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 3.3(одифференцировании попараметру под знаком интеграла). |
||||||
Пусть функция f (x, y) |
непрерывна в P и имеет непрерывную частную |
|||||
производную |
|
|
|
|
|
|
f y (x, y) в нем. Тогда: |
|
|
|
|||
1) функция I(y) имеет в промежутке [c, d] производную I (y); |
||||||
|
b |
|
|
|
|
|
2) I (y) fy (x, y) dx, |
y [c,d]; |
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
|
|
3) I (y) C([c, d]), где C([c, d]) – пространство непрерывных на [c, d].
Теорема 3.4 (об интегрировании по параметру под знаком интеграла).
Пусть функция f (x, y) C(P). Тогда
d |
d |
b |
b |
d |
I(y)dy ( f (x, y) dx) dy ( f (x, y) dy) dx. |
||||
c |
c |
a |
a |
c |
Случаи зависимости пределов интегрирования от параметра Теорема 3.5 (о непрерывности интеграла как функции параметра).
|
b(y) |
Пусть функция f (x, y) C(D) и пусть I(y) |
f (x, y) dx, y [c,d]. |
Тогда I(y) C([c, d]). |
a(y) |
|
30
Теорема 3.6 (о дифференцировании по параметру). Предположим, что функция f (x, y)непрерывна в P и имеет там непрерывную частную производ-
|
|
(y), (y) |
определены в промежутке [c, d] и |
ную f y(x, y). Пусть функции |
|||
|
|
|
|
имеют в нем производные (y), (y). Обозначим |
|||
|
|
b(y) |
|
|
I(y) f(x,y)dx, |
y [c,d]. |
|
|
|
a(y) |
|
Тогда для любого y [c, d] существует I (y), причем |
|||
|
b(y) |
|
|
I (y) |
fy (x, y) dx f (b(y), y) b (y) f ( (y), y) (y). |
||
|
a(y) |
|
|
§3.2. Эйлеровы функции (x) и B(x,y)
Выделяют особый класс функций, представленных в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, но и от параметра. К их числу относятся гамма- и бета-функции Эйлера.
Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например цилиндрических, гипергеометрических и др.
Благодаря ее введению значительно расширяются возможности при вычислении интегралов.
Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решенной, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.
1. Гамма-функция Эйлера Г(x). Интегральное представление гаммафункции (x) определяется равенством
|
|
|
|
|
(x) tx 1e tdt,x 0. |
|
|
(3.3) |
|
0 |
|
|
|
|
Этот интеграл сходится при x 0, так как при t он сходится из-за |
||||
наличия множителя e t , а при t 0 выполняется |
|
e ttx 1 |
|
~ tx 1. Отсюда сле- |
|
|
дует, что интеграл существует при x 1 1, т. е. при x 0. Производная функции (x) имеет вид
'(x) tx 1e t lntdt, x 0.
0
31
Свойства и основные соотношения Г-функции
|
1 |
|
1; |
1. |
Значение (1) e tdt e t |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||
2. |
Значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t s, dt 2sds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
t |
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
s |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
e |
t |
dt |
t 0 s 0 |
2e |
|
ds 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
t s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Формула приведения. Если в формуле (3.3) |
|
x заменить на x 1 и про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
извести интегрирование по частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
u t |
x |
, du xt |
x 1 |
ds |
|
txe t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x 1 txe tdt |
|
|
|
|
|
x tx 1e tdt x (x), |
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
dv e tdt, v e t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
то получим формулу приведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1) x (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.4) |
||||||||
Применяя ее |
|
k раз, придем к соотношению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
(x) (x 1) (x 1) |
(x 1)(x 2) (x 2) ... |
|
|
(3.5) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x 1)(x 2)...( x k) (x |
k), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
справедливому для комплексных x при |
Rex k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
В частности, для случая x n, n N , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(n 1) n (n) n (n 1) |
(n 1) ... n (n 1) ... 2 1 n!, |
(3.6) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) 0! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Формула дополнения. При 0 x 1 справедлива формула дополнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) (1 x) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменив x на x 1 в формуле (3.7), получим
|
|
(x 1) ( x) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
sin (x 1) |
|||
Справедливо также равенство |
|
|
|
|||
(x n) (x n 1)(x n 2) |
... |
(x 1)x (x). |
||||
Отсюда при x |
1 |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
1 1 3 1 1
n 2 n 2 n 2 ... 2 2 23
|
1 3 ... (2n 3) (2n 1) |
|
|
|
|
|
. |
||
2n |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
1 2х |
|
|
||
|
|
|||||
Формула удвоения. (х) x |
|
|
2 |
(2х). |
||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
(3.8)
(3.9)
32