4. Отнеся каждой функции f (t) ее произведение (t) f (t) на фиксированную функцию (t), снова получаем оператор.

Определение 2.1. Любое отображение A пространства U в V называется оператором, если каждому вектору x U ставится в соответствие по определенному закону вектор y V (т. е. аналог определения функции).

Теория операторов как часть функционального анализа посвящена изучению свойств операторов и применению их к решению различных задач. Понятие оператора – одно из самых общих математических понятий.

Общая теория операторов возникла в результате развития теории интегральных уравнений. Еще до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись при решении различных типов обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Теория операторов представляет собой основной математический аппарат квантовой механики. Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах. Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовые функции, линейные преобразования евклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы (см. ниже) и т. д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы.

§2.2. Линейные операторы в конечномерных линейных пространствах и их матрицы

Пусть U и V – линейные пространства размерности n и m соответственно.

Определение 2.2. Отображение A:U V называется линейным оператором (ЛО), если для любых двух векторов и чисел выполняются равенства:

1)A(x y) A(x) A(y), x, y U ;

2)A( x) A(x), x U, R.

Из определения следует более общее равенство

A( 1x1 2x2 ... nxn) 1A(x1) 2A(x2) ... nA(xn), i R, i 1, n.

Вектор y Ax V называется образом вектора x U при отображении A.

Областью или множеством значений линейного оператора A называет-

ся множество im A {y V y Ax, x U}.

Примеры линейных операторов:

1.Нулевой оператор, т. е. A(x) 0, x U .

2.Тождественный оператор A(x) x, x U . Обозначается E.

3.Оператор подобия A(x) x, x U, R.

Определение 2.3. Размерность области значений dim im A называется

рангом оператора A и обозначается rang A, т. е. rang A dimim A. Определение 2.4. Ядром ненулевого линейного оператора A называется

22

подпространство всех векторов x U , для которых Ax 0, и обозначается ker A, т. е.

ker A {x U | Ax 0}.

Определение 2.5. Размерность ядра оператора называется дефектом оператора и обозначается def A, т. е. def A dimker A.

Если dimU n, то dim im A dimker A n rang A def A n.

Матрица линейного оператора. Пусть U – линейное пространство с ба-

в базисе {v} пространства V . Строки этой матрицы образуют коэффициенты разложения координат вектора y (y1, y2,..., ym)T по координатам вектора

x(x1, x2,..., xn)T , y Ax , т. е.

y1 a11x1 a12x2 ... a1nxn,

Матрица линейного оператора позволяет найти образ любого вектора по единому алгоритму.

Пример 2.1. Исследовать на линейность оператор

Ax (x1 3x2, 2x1 x2 x3,3x1 x3).

Решение.

имеем:

A( x y) [( x1 y1) 3( x2 y2), 2( x1 y1) ( x2 y2)

( x3 x3),3( x1 y1) ( x3 y3)] (x1 3x2, 2x1 x2 x3, 3x1 x3)

(y1 3y2, 2y1 y2 y3) A(x) A(y),

т. е. оператор A является линейным.

23

A:V W и B:U V называется оператор C AB, такой, что

C x (AB)x A(Bx), x U .

Действиям над линейными операторами соответствуют действия над их матрицами.

Справедливы следующие свойства линейного оператора: 1º. A B B A.

2º. (A B) C A (B C).

3º. A O A, где O– нулевой оператор. 4º. A ( A) O.

5º. ( A) ( ) A.

6º. ( ) A A A; (A B) A B. 7º. ( AB) ( A)B.

8º. (A B)C AC BC .

9º. A(B C) AB AC .

10º. (AB)C A (BC).

Если A B С , то имеем n-кратное действие оператора A.

Результат последовательного применения n-раз одного и того же опера-

тора A есть n-я степень An этого оператора. Например, n-я степень оператора дифференцирования есть оператор n-kpaтного дифференцирования

Dn [ f (t)] f (n)(t).

Определение 2.6. Линейный оператор A:U V называется невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого вектора, т. е.

Ax 0 x 0, в противном случае оператор называется вырожденным.

Для вырожденного оператора равенство Ax 0 возможно и при некото-

ром x 0.

24

Определение 2.7. Оператор, определяющий вектор x для данного y из соотношения y Ax, называется обратным оператору A и обозначается A 1 ,

т. е. x A 1 y.

Справедливы равенства A A 1 A 1 A E, где E – тождественный оператор, для которого E x x, x U .

Обратному оператору A 1 отвечает матрица A 1, обратная к матрице A, а тождественному оператору E – единичная матрица E.

Ядро оператора A совпадает с множеством векторов x U , для которых

Ax 0, т. е. ker A {x U | Ax 0}.

со своей транспонированной A AT , т. е. матрица самосопряженного оператора в ОНБ является симметрической.

Линейный оператор A:U U называется ортогональным, если

(Ax, Ay) (x, y), x, y U .

25