Задача №1.29
Номер автомобиля содержит четыре цифры, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9 (возможен номер 0000). Определить вероятность того, что номер делится на 20.
Решение
Найдём число всех возможных комбинаций номера автомобиля :
Номер будет делится на 20, если его комбинация представляет один из следующих наборов цифр: XX00 (исключая номер 0000), XX20, XX40, XX60, XX80, где X – любая цифра от 0 до 9.
Следовательно, число таких номеров равно:
Вероятность, того что номер делится на 20, равна
Ответ:
Задача № 2.22
Дана схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом (рисунок 2). Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Рисунок 1
Решение
Согласно рисунку 1 ветка с элементами 1, 2, 3 соединены параллельно ветке с элементами 4 и 5.
Введем события: A1 – элемент 1 исправен, A2 – элемент 2 исправен, A3 – элемент 3 исправен, A4 – элемент 4 исправен, A5 – элемент 5 исправен, A – сигнал проходит от точки a к точке b (со входа на выход).
Событие A произойдёт, если будут работать и элемент 1, и элемент 2, и элемент 3 или элемент 4, и элемент 5:
Вероятность наступления события А:
Ответ:
Задача №3.9
Среди шести винтовок пристреленными оказываются только две. Вероятность попадания из пристреленной винтовки равна 0,9, а из не пристреленной - 0,2. Выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена. Определить вероятность того, что взята пристреленная винтовка.
Решение
Вероятность того, что наугад взятая винтовка пристрелена:
Соответственно, для не пристреленной:
Обозначим через А событие – выстрелом из одной наугад взятой винтовки цель поражена. Сделаем следующие предположения:
- цель поражена пристреленной винтовкой:
- цель поражена не пристреленной винтовкой:
Событие достоверно при всех вышеперечисленных гипотезах, следовательно, соответствующие условные вероятности равны единице:
По формуле полной вероятности, вероятность того, что из наугад взятой винтовки цель поражена:
По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что взята пристреленная винтовка, равна:
Ответ:
Задача №4.17
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что в мишени будет одно или два попадания.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень.
Решение
Событие A1 - в мишень попали 1 раз, событие A2 - в мишень попали 2 раза, событие B – в мишень попали 1 или 2 раза.
Вероятность того, что из 6 выстрелов по мишени один оказался удачным (событие А1 произойдёт 1 раз в последовательности из 6 опытов) определим по формуле Бернулли :
Соответственно, вероятность того, что из 6 выстрелов по мишени 2 оказались удачными (событие А2 произойдёт 2 раз в последовательности из 6 опытов) :
Вероятность того, что в мишени будет одно или два попадания:
Ответ:
Задача № 5.3
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
Таблица 1 – Исходные данные
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0,4 |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
Решение
-
Математическое ожидание и дисперсию величины Х:
-
Построим ряд распределения СВ X:
Таблица 2 –Ряд распределения СВ X
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
>5 |
|
0,4 |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
0 |
|
0 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,9 |
1 |
Построим график функции распределения (рисунок 2):
Рисунок 2 - график функции распределения F(xi)
Задача № 6.8
Случайная величина Х задана плотностью вероятности:
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.
Решение
-
Вычислим константу исходя из условия нормировки:
Отсюда константа :
-
Определим математическое ожидание СВ Х:
Определим дисперсию СВ Х:
-
Определим функцию распределения величины Х:
-
Определим вероятность попадания величины Х в заданный интервал :
Ответ:
Задача № 7.9
Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g(y).
Решение
-
Построим график случайной величины для в интервале значений и определим диапазон значений (Рисунок 3): .
-
В зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы для :
обратных функций не существует
обратных функций не существует
-
Вычислим модули производных обратных функций:
Y
X
Рисунок 3 – график функции
Так как случайная величина Х распределена равномерно на интервале [-2;2] , то её плотность вероятности равна:
-
Определим плотность вероятности величины :
Задача № 8.18
Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунок 4 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Таблица 3 – Исходные данные
Вариант |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
y1 |
y2 |
8.18 |
0 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
1 |
2 |
Рисунок 4
Решение
-
Построим область B согласно координатам из таблицы 3 и рисунку 4.
Рисунок 5
Совместная плотность вероятности примет вид:
-
Найдём константу из условия нормировки:
Таким образом:
Проверим полученный результат геометрически. Объём тела, ограниченного поверхностью распределения В и плоскостью xOy равен 1, т.е:
Следовательно, константа рассчитана верно.
-
Вычислим математические ожидания:
-
Вычислим дисперсии:
Вычислим корреляционный момент:
-
Вычислим коэффициент корреляции между величинами X и Y:
Ответ:
Задача № 9
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия 2 и критерия Колмогорова ( = 0,05).
Одномерная выборка:
1,22 |
0,37 |
1,23 |
0,43 |
0,24 |
0,54 |
1,02 |
1,88 |
0,67 |
0,13 |
3,53 |
0,94 |
0,09 |
1,02 |
1,77 |
0,52 |
2,90 |
0,39 |
0,66 |
0,24 |
0,96 |
0,41 |
0,80 |
1,63 |
0,15 |
0,56 |
1,47 |
1,12 |
0,59 |
1,77 |
0,36 |
0,02 |
2,85 |
0,45 |
0,33 |
1,54 |
0,37 |
0,13 |
0,60 |
1,06 |
0,31 |
1,49 |
0,10 |
0,55 |
0,02 |
1,27 |
0,29 |
0,95 |
2,39 |
0,31 |
0,74 |
2,23 |
0,98 |
1,06 |
0,92 |
0,62 |
2,03 |
0,24 |
0,01 |
0,62 |
1,09 |
1,91 |
0,31 |
0,83 |
0,50 |
0,91 |
0,74 |
0,43 |
0,36 |
1,00 |
1,17 |
0,49 |
0,57 |
0,96 |
2,33 |
1,75 |
0,73 |
0,02 |
0,44 |
0,10 |
1,35 |
3,69 |
0,36 |
1,59 |
1,50 |
0,76 |
1,46 |
0,51 |
0,68 |
0,04 |
0,59 |
0,97 |
0,11 |
0,53 |
1,94 |
0,04 |
0,72 |
0,01 |
0,79 |
0,33 |
|
|
|
|
|
Размер выборки