12. Понятие двойственности. Построение двойственных задач, их свойства.

Каждой задаче линейного программирования соответствует двойственная задача. Двойственная задача по отношению к исходной задаче строится по следующим правилам:

1. Если исходная задача ставится на максимум, то двойственная ставится на минимум и наоборот.

2. Коэффициенты целевой функции исходной задачи становятся правыми частями ограничений двойственной задачи. Правые части ограничений исходной задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи.

3. Если A-матрица коэффициентов исходной задачи, то транспонированная матрица задачи AT будет матрицей коэффициентов двойственной.

4. В задаче на максимум все ограничения имеют знак ≤ (=), а в задаче на минимум все ограничения имеют знак ≥ .

5. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в исходной задаче. Каждому ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи. Если ограничение исходной задач имеет знак ( ≥ ), то соответствующая переменная двойственной задачи неотрицательна. Если ограничение имеет знак (=), то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать положительные и отрицательные значения и наоборот.

В матричном виде двойственные задачи, заданные в симметричной форме, имеют вид:

Переменные ( y1 , y2 ,.., ym ) называются двойственными (или объективно-обусловленными) оценками.

Экономическая интерпретация задач следующая. Вектор x – это вектор выпускаемой продукции, y – двойственные оценки ресурсов прямой задачи. Левая часть ограничений двойственной задачи представляет собой оценку затрат на единицу выпускаемой продукции в двойственных ценах.

Прямая задача представляет собой задачу на определение плана, обеспечивающего максимальный выпуск продукции при заданных ценах реализации и ограничениях на ресурсы. Двойственная задача – определение таких оценок ресурсов, в которых стоимость имеющихся ресурсов минимальна, а затраты на производство единицы продукции не меньше цен реализации продукции.

13. Основные теоремы двойственности.

Первая теорема двойственности. Для взаимно двойственных задач имеет место один из трех случаев:

1. Если существует решение одной задачи, то существует решение и второй задачи. Значения целевых функций на оптимальных решениях обеих задач равны и на множестве допустимых значений обеих задач выполняется неравенствоЕсли на допустимых решениях обеих задач целевые функции равны, то решения оптимальны.

2. Если решение одной задачи неограниченно, то другая задача несовместна.

3. Обе задачи несовместны.

Вторая теорема двойственности. Оптимальные решения двойственных задач удовлетворяют соотношениям

Имеет место и обратное свойство: если допустимые значения переменных xj , yi удовлетворяют соотношениям (см. выше), то они являются оптимальными решениями обеих задач.

Экономический смысл второй теоремы двойственности состоит в следующем:

1) если оптимальная оценка i-го ресурса не равна нулю, то в оптимальном плане этот ресурс используется полностью

2) если в оптимальном плане ресурс не используется полностью то его оценка равна нулю;

3) если j-й продукт входит в оптимальный план , то в оптимальных оценках ресурсов он неубыточен

4) если j-й продукт в оптимальных оценках ресурсов убыточен , то он не входит в оптимальный план.