![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Аппроксимация функций
- •Интерполяция общего вида
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Линейная и квадратичная интерполяции
- •Формулы численного интегрирования
- •Формула средних
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •Формулы Гаусса
- •Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Основная ф_ла
- •Основные положения метода сеток для решения задачи Коши
- •Явная схема 1-го порядка (метод Эйлера)
- •Неявная схема 1-го порядка
- •Неявная схема 2-го порядка
- •Многошаговые схемы Адамса
- •Метод стрельбы
- •Метод конечных разностей
Линейная и квадратичная интерполяции
Иногда при интерполяции по заданной таблице при m>3 точек приме- няют квадратичную (n=3) или линейную (n=2) интерполяцию. В этом случае для приближенного вычисления значения функции f(x) в текущей точке xТ находят в таблице ближайшие к этой точке (i-1), i, (i+1)-й узлы из общей таблицы, строят интерполяционный многочлен Ньютона первой или второй степени по формулам.
Формулы численного интегрирования
Формулы для вычисления интеграла получают следующим образом. Область интегрирования [a, b] разбивают на m малых отрезков с шагом h=b-a/m. Значение интеграла по всей области равно сумме интегралов на отрезках. Выбирают на каждом отрезке 1 – 5 узлов и строят для каждого отрезка интерполяционный многочлен соответствующего порядка. Вычисляют интеграл от этого многочлена на отрезке. В результате получают выражение интеграла (формулу численного интегрирования) через значения подынтегральной функции в выбранной системе точек. Такие выражения называют квадратурными формулами.
Формула средних
Формула
средних получается, если на каждом i-ом
отрезке [xi-1,
xi] взять один
центральный узел xi-1/2
= xi - h/2,
соответствующий середине отрезка.
Функция на каждом отрезке аппроксимируется
многочленом нулевой степени (константой)
P0(x) = f(xi-1/2).
Погрешность формулы средних имеет
второй порядок по h.
.
Формула трапеций
Формула
трапеций получается при аппроксимации
функции f(x)
на
каждом отрезке интерполяционным
многочленом первого порядка, т. е. прямой,
проходящей через точки x(i-1)
f(i-1),
x(i)
f(i).
Площадь криволинейной фигуры заменяется
площадью трапеции с высотами f(i-1)
f(i)
и
основанием h.
Погрешность формулы трапеций в два раза
больше, чем погрешность формулы средних.
Формула Симпсона
Формула
Симпсона получается при аппроксимации
функции f(x)
на
каждом отрезке
интерполяционным
многочленом второго порядка (параболой)
c
узлами x(i-1),
x(i-1/2),
x(i).
Погрешность
формулы Симпсона имеет четвертый порядок
по h.
.
Формулы Гаусса
При
построении предыдущих формул в качестве
узлов интерполяционного многочлена
выбирались середины или концы интервала
разбиения. При этом оказывается, что
увеличение количества узлов не всегда
приводит к уменьшению погрешности. Суть
методов
Гаусса с
n
узлами
состоит в таком расположении этих n
узлов
интерполяционного многочлена на отрезке
x(i-1),
x(i),
при
котором достигается минимум погрешности
квадратурной формулы. Детальный анализ
показывает, что узлами, удовлетворяющими
такому условию, являются нули ортогональнoго
многочлена Лежандра n-й
степени. Для n=2
узлы
на отрезке x(i-1),
x(i)
должны
быть выбраны следующим образом:
.
И
соответствующая формула
Гаусса с двумя узлами имеет
вид:
.
Порядок
погрешности этой формулы 4-ый. Для n=3
узлы выбираются следующим образом:
.
и соответствующая
формула
Гаусса с тремя узлами имеет
вид:
.
Порядок
погрешности этой формулы шестой. особенно
широко применяются для вычисления
несобственных интегралов специального
вида, когда подынтегральная функция
имеет достаточно высокие производные.