7.2. Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции

В случае табличного задания функции производную находят, опираясь на формулу

;

полагая

. (1)

Это соотношение называется аппроксимацией производной с помощью отношения конечных разностей. При заданных значениях таблицы {x_i,y_i},i=и шаге расположения интерполяционных узловh =constв зависимости от способа вычисления конечных разностей дляi-го узла имеют место следующие алгоритмы вычисления (1). Пустьi = 1.

1. Формула левых разностей

;;

. (2)

2. Формула правых разностей

;;

. (3)

3.Формула центральных разностей

;;

. (4)

Используя соотношения (2), (3), (4) последовательно можно получить выражения для вычисления производных высших порядков. К примеру, используя (3), получим:

. (5)

Открытым остается вопрос точности.

7.3. Погрешность численного дифференцирования

Аппроксимируя исследуемую функцию, ее представляют в виде:

. (6)

В качестве (x) можно принять либо интерполяционную функцию, либо частичную сумму ряда. Тогда погрешность аппроксимацииR(x) определяется остаточным членом ряда илиP_n–1(x). Дифференцируя (6) необходимое число раз находим:

и т.д.

Тогда погрешность аппроксимации при численном дифференцировании функции, заданной таблицей с шагомhзависит отh, и ее записывают в видеО(h^k). Показатель степениkназывают порядком погрешности аппроксимации производной. При этом предполагается, что |h| < 1.

Оценку погрешности формул (2) – (5) можно проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора.

Пусть дважды непрерывно дифференцируемая функция f(x) задана таблицей значений.

x	x0	x1	x2	…	xn
y	y0	y1	y2	…	yn

Где y_i =f(x_i),i = . Пусть далее узлы равностоящие,h = (x_n –x₀)/n,x_i=x₀ +ih, .

Ряд Тейлора в общем виде:

(7)

Запишем (7) при x=x₁, с точностью доh¹:

y₀ = y₁ – y'₁h + O(h²).

Тогда y'₁ = .

Это выражение совпадает с (2) и является аппроксимацией первого порядка (k = 1). Тогда для произвольного узла.

А по всему отрезку [a,b], гдеh= (ba)/nдляf '(x) погрешность не превысит величиныR=.

Полагая для (7) x=h, можно получить этот результат и для соотношения (3). Для оценки погрешности для (4) и (5) воспользуемся рядом Тейлора, полагаяx= –hиx=hсоответственно получим:

; (8)

;

в предположении, что f(x) трижды непрерывно дифференцируемая функция.

Вычитая из второго равенства первое, получаем:

+О(h²), здесьk = 2.

Для произвольного узла:

.

На основании (7) по всему отрезку погрешность аппроксимации не превзойдет величины:

.

Складывая равенства (8) найдем:

+О(h²),k = 2.

Для отрезка [x_i–1,x_i+1] получим:

,i= .

А погрешность на отрезке [a,b] для второй производной оценивается соотношением:

.

Следует отметить, что, вообще говоря, приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Считают, что при численном дифференцировании функции y=f(x), заданной таблично, имеют место два типа погрешностей:

а) погрешности усечения, которые вызываются заменой функции y=f(x) интерполяционным многочленомP_n(x);

б) погрешности округления, которые вызываются неточным заданием исходных значений y_i.

При этом известно, что с уменьшением шага численного дифференцирования погрешность округления возрастает, а погрешность же усечения, как правило, убывает. Поэтому при вычислениях по формулам численного дифференцирования стоит задача и оптимального выбора шага h.