2.2.3. Спектральные функции для некоторых сигналов

Пример 1. Функция Дирака (t).

Рис. 2.4 Функция Гаусса

Рассмотрим функцию Гаусса плотности вероятности нормального закона . Эта функция обладает интересным свойством – площадь под ней равна единице при любом значении>0, т. е. . Ее график представлен на рис. 2.4. При  0 высота этой функции стремится к бесконечности и практически везде, кроме точки t = 0 она равна нулю, причем площадь под ней остается равной единице.

Предельную функцию формально можно записать в виде:

, при этом .

Несмотря на свою кажущуюся примитивность, она является очень полезной как в математической физике, так и в теории сигналов.

Одно из важнейших свойств этой функции записывается следующим образом:

.

Его следствие:

. (2.8)

Таким образом, интегральный оператор (2.8) каждой функции f(x) ставит в соответствии число, равное значению функции в точке t₀.

Вторым важным свойством является ее дифференцируемость. Производная от функции Дирака определяется ее свойством, т. е. определяется через линейный функционал:

.

Спектр -функции. Предположим, что сигнал описывается функцией Дирака s(t)=(t), и найдем его спектр, т. е. найдем преобразование Фурье от нее.

.

Согласно свойствам дуальности и четности: .

Таким образом, спектр (Фурье образ) -функции является просто константой, т. е. амплитуда гармоник в ее представлении не зависит от частоты:

.

Такой сигнал получил название «белый шум», и он является идеальным подавителем других сигналов. Его мощность равна бесконечности, что следует из формулы Парсеваля:

.

На практике он конечно нереализуем, но можно к нему приблизиться с помощью функции Гаусса с малым .

Пример 2. Спектр гармонического сигнала: .

Представим наш сигнал в виде произведения постоянного сигнала , спектральная функция которого равна, и гармонического. Воспользуемся свойством 7) табл. 1, получим:

.

По свойству дуальности , т. е. Фурье преобразование импульсной функции представляет гармоническую функцию частоты.

Пример 3. Спектр периодического сигнала:.

.

Таким образом преобразование Фурье периодического сигнала представляет собой импульсную последовательность в частотной области. По свойству дуальности, преобразование Фурье импульсной последовательности во временной области будет давать периодическую функцию частоты.

Пример 4. Спектр видеоимпульса ,имеющего длительность L и единичную площадь.

Вычисляем преобразование фурье:

Максимальное значение , нулии ширина основного максимума:спектральной функции.

На рис. 2.5 приведен вариант видеоимпульса, на рис. 2.6 его спектр.

Рис. 2.5 Видеоимпульс: L=2	Рис. 2.6 Спектр видеоимпульса

Пример 5. Спектр радиоимпульса.

основной максимум: .

Рис. 2.7 Радиоимпульс: 0=4.5, L=2	Рис. 2.8 Спектр радиоимпульса

Вопросы и задания для проверки

1. Как связаны коэффициенты рядов Фурье в классической и комплексной формах?

2. Как записывается ряд Фурье для функции с заданным периодом Т?

3. Что такое амплитудный спектр периодического сигнала?

4. Как производится предельный переход к преобразованию Фурье?

5. Какие свойства преобразования Фурье вы знаете?

6. Что такое d-функция и какой у нее спектр?

7. Нарисуйте графики видеоимпульса, радиоимпульса и их спектральные функции.