- •А. К. Синицын Специальные математические методы и функции
- •Содержание
- •Введение
- •Лекция 1. Элементы функционального анализа
- •1.1. Линейные пространства
- •1.2. Линейное нормированное пространство
- •1.3. Унитарные пространства. Скалярное произведение и ортогональность
- •Вопросы и задания для проверки
- •Лекция 2.Тригонометрический ряд Фурье, интегральное преобразование Фурье
- •2.1. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций
- •2.1.1. Классическая форма ряда Фурье
- •2.1.2. Комплексная форма ряда Фурье.
- •2.1.3. Ряд Фурье для функции с заданным периодом
- •2.2. Интегральное преобразование Фурье
- •2.2.1. Переход от ряда Фурье к преобразованию Фурье
- •2.2.2. Свойства преобразования Фурье
- •2.2.3. Спектральные функции для некоторых сигналов
- •Вопросы и задания для проверки
- •Лекция 3. Линейные операторы, основные задачи и методы
- •3.1. Линейные операторы
- •3.2. Операторные задачи в линейных пространствах и общие методы их решении
- •3.2.1. Итерационный метод
- •3.2.2. Проекционный метод
- •3.3. Задачи линейной алгебры
- •3.3.1. Вычисление определителя матрицы
- •3.3.2.Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •3.3.3. Метод Гаусса
- •3.3.4. Решение задачи на собственные значения
- •Вопросы и задания для проверки
- •Лекция 4. Специальные методы решения дифференциальных уравнений
- •4.1. Уравнения математической физики
- •4.2. Основные типы уравнений в частных производных
- •2. Гиперболические:
- •4.3. Два наиболее часто используемых специальных метода решения линейных дифференциальных уравнений
- •4.3.1. Метод комплексных амплитуд
- •4.3.2. Метод разделения переменных Фурье для решения уравнений в частных производных
- •Вопросы и задания для проверки
- •Лекция 5. Функции Бесселя
- •5.1. Волновое уравнение в цилиндрической системе координат
- •5.2. Уравнения Бесселя
- •5.3. Функции Бесселя первого и второго рода
- •5.3.1. Определения и графики
- •5.3.2. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя первого и второго рода
- •5.4.2. Рекуррентные соотношения для модифицированных функций Бесселя первого и второго рода
- •6.2. Общая задача вариационного исчисления, вариация функцинала
- •6.3. Общий метод нахождения минимума функционала
- •6.4. Элементарная задача вариационного исчисления
- •Вопросы и задания для проверки
- •Лекция 7. Преобразование Лапласа и z - преобразование
- •7.1. Преобразование Лапласа
- •7.2. Сеточные функции и разностные уравнения
- •7.2.1. Понятие сеточной функции.
- •7.2.2. Разностные уравнения для сеточных функций и их решения
- •7.3. Дискретное z - преобразование: определение и основные свойства
- •Вопросы и задания для проверки
- •Литература
- •Специальные математические методы и функции
6.3. Общий метод нахождения минимума функционала
На основании вышеприведенной теоремы для поиска минимума функционала следует найти его вариацию, после чего решать получившееся функциональное (чаще всего дифференциальное) уравнение:
. (6.3)
Если же вариацию найти не удалось, или же полученное функциональное уравнение слишком сложное для решения, то используют самый универсальный и во многих случаях единственно возможный метод, предложенный Ритцем (W. Ritz, 1908 г). Иногда его называют методом пробных функций. Теоретическим обоснованием этого метода занимались Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов. Чаще всего этот метод реализуется следующим образом.
Выбираем в области определения Y функционала Ф некоторый базис, т. е. набор линейно независимых функций , обладающихсвойством полноты: любая функция у(х) из области решений может быть представлена в виде
Будем искать приближение к функции, доставляющей минимум функционала в видеПосле подстановкив функционалполучим функциюN переменных:
Неизвестные значения коэффициентов разложения искомого решения по функциям базиса будем находить из условия.
Таким образом, задача вариационного исчисления сводится к нахождению минимума функции n переменных. Алгоритмы решения этой задачи хорошо разработаны и имеются стандартные программы минимизации функции n переменных.
Для случая квадратичных функционалов нахождение сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, как показано в следующем примере 1.
Пример 1. Найти минимум функционала:
.
Выбираем систему базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям:
.
Решение ищем в виде функции , которая удовлетворяет граничным условиям. Производная.
Подставляем в наш функционал и получаем целевую функцию:
.
Обозначим:
Получим:
.
Запишем условия экстремума функции n переменных:
.
Решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений с помощью стандартной программы, получаем неизвестные значения a1,…aN и искомую экстремаль yN(x).
Заметим, что в нашем конкретном случае матрица системы получается диагональной и решение имеет вид:
; .
6.4. Элементарная задача вариационного исчисления
Наиболее полно теория решения вариационных задач разработана для частного случая функционала следующего вида:
. (6.4)
Здесь – непрерывная дифференцируемая функция трех переменных.
Получим для этой задачи функциональное уравнение (6.3) для нахождения экстремалей. Воспользуемся вторым определением вариации (6.2) и правилом дифференцирования сложной функции. Уравнение (6.3) примет вид:
Преобразуем последний интеграл, воспользовавшись правилом интегрирования по частям:
, ;
получим:
.
В результате имеем:
.
Последнее равенство должно выполняться для произвольной , что возможно только при условии:
=0, . (6.5)
Или более коротко: .
В результате мы получили дифференциальное уравнение Эйлера (6.5), которому должны удовлетворять экстремали функционала (6.4). Это уравнение в общем случае имеет второй порядок и дополняется двумя граничными условиями. Для выяснения вопроса минимум или максимум имеет место требуется дополнительное исследование второй производной на положительность. Если
то на экстремали достигается минимум, если – то максимум.
Пример 2. Найти экстремаль функционала:
.
Здесь .
Подставляя в (6.5) получим уравнение Эйлера в виде: .
Интегрируем его, получаем:
.
Константы подбираем используя граничные условия, получим:
с1 = с2 = 0, .
Проверим , следовательно, имеет место минимум приy = x3.
Пример 3. Найти минимум функционала:
.
Здесь .
Уравнение Эйлера имеет вид: .
Общее решение:
.
Из граничных условий, находим: или.
Окончательно: .
Если сравнить с результатом примера 1, получим:
.