![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
ALGEBRA
.pdf![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz71x1.jpg)
Теорема 2. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz72x1.jpg)
Доказательство. Пусть x1, x2, . . . , xk – линейно зависимая подсистема системы векторов x1, x2, . . . , xn, k < n. Тогда, в силу определения 8, существуют числа λ1, λ2, . . . , λk , среди которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что имеет место равенство
λ1x1 + λ2x2 + · · · + λkxk = 0.
Следовательно можно записать
λ1x1 + · · · + λkxk + 0 · xk+1 + · · · + 0 · xn = 0,
из чего следует, по определению 8, линейная зависимость всей системы векторов.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz73x1.jpg)
Теорема 3. Совокупность векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
Доказательство. Нулевой вектор всегда можно представить в виде линейной комбинации любых векторов x1, x2, . . . , xn:
0 = 0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xn.
По теореме 1, система векторов
0, x1, x2, . . . , xn
линейно зависима.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz74x1.jpg)
Задачи для практических занятий.
Пример 18. Показать, что всякая подсистема линейно независимой системы векторов также линейно независима.
Пример 19. Пусть n N фиксировано. Показать, что система векторов e1 = (1, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1) Rn линейно независима.
Пример 20. Пусть n N фиксировано. Показать, что система векторов e1 = (1, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1), x Rn, где x = (x1, x2, . . . , xn) –
произвольный вектор из Rn линейно зависима.
Пример 21. Показать, что система векторов
a1 = (1, −1, 0), a2 = (0, 1, −1), a3 = (0, 0, 1) R3 линейно независима.
Пример 22. Пусть n N, n > 2, фиксировано. Показать, что система векторов a1 = (1, -1, 0, 0, ... , 0), a2 = (0, 1, -1, 0, 0, ... , 0), ...
= (0, 0, 0, ..., 0, 1, -1),
an = (0, 0, ... , 0, 1) Rn линейно независима.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz75x1.jpg)
Пример 23. Пусть n N фиксировано. Показать, что система многочленов
p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = x2, . . . , pn(x) = xn
линейно независима.
Пример 24. Пусть n N фиксировано. Построить линейно независимую систему векторов линейного пространства F(a, b), состоящую из n векторов.
Пример 25. Показать, что система векторов |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
E11 = |
1 0 0 |
, E21 |
= |
0 1 0 , E31 |
= |
0 0 1 |
, |
||||||||||||
E12 = |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
= |
|
0 |
0 |
0 |
|
= |
|
0 |
0 |
0 |
|
линейно независима в |
|
0 |
0 |
0 |
, E22 |
|
0 |
0 |
0 |
, E32 |
|
0 |
0 |
0 |
. |
|
||||
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(R). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространстве M3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz76x1.jpg)
Пример 26. Показать, что система векторов
E11 = |
1 |
0 |
0 |
, E21 = |
0 |
1 |
0 , E31 |
= |
0 |
0 |
1 , |
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|||
E12 = |
0 |
0 0 , E22 |
= |
0 |
|
0 |
0 |
, E32 |
= |
0 |
0 |
0 |
, |
||||
|
1 |
0 0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
a11 |
a21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
a31 |
|
|
|
|
|
|
|||||
A M3(R), |
где |
A = a12 |
a22 |
a32 произвольная |
|
|
матрица из M23(R), линейно зависима.
Пример 27. Пусть n, m N фиксированы. Построить линейно независимую систему векторов линейного пространства Mmn (R), состоящую из m·n векторов.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz77x1.jpg)
1.3. Размерность линейного пространства
Определение 9. Линейное пространство L называется n - мерным, если в нем существует система из n линейно независимых векторов e1, e2, . . . , en такая, что для любого x L система e1, e2, . . . , en, x линейно зависима. В этом случае число n называют размерностью пространства L и пишут dim L = n.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz78x1.jpg)
Произвольное линейное пространство размерности n будем обозначать символом Ln. Пусть L произвольное линейное пространство. Возможны два случая:
1. Существует линейно независимая система из n векторов, а любая система, состоящая из (n+1) вектора, линейно зависима. В этом случае dim L = n;
2. Существуют линейно независимые системы из любого числа векторов (см. пример 23). В этом случае пространство L будем называть
бесконечно мерным, и писать dim L = ∞.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz79x1.jpg)
Определение 10. Любая линейно независимая система, состоящая из максимально возможного числа векторов, называется базисом линейного пространства L, а вектора, составляющие базис, называются базисными векторами.
В линейном пространстве Ln базис существует и состоит ровно из n векторов. Один ли базис в Ln ? Нет, базисов много.
(Из примеров 19-20 следует, что система векторов e1,e2,..., en Rn базис в Rn. Но система
векторов из примера 22 линейно независима и состоит из n векторов, а, следовательно, тоже
базис в Rn).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz80x1.jpg)
Теорема 4. Любой вектор линейного пространства Ln можно представить единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit