ALGEBRA
.pdf2.5. |
Преобразование декартовых |
|
|
координат в пространстве V2(π) |
|
В пространстве V2(π) различают правые и |
||
левые базисы. Пусть π – произвольная фик- |
||
сированная плоскость и |
~ |
|
(~a, b) базис в V2(π). |
||
(Напомним, что базис в V2(π) – упорядочен- |
||
ная пара неколлинеарных векторов). |
||
|
|
~ |
Откладывая векторы ~a и b от произвольной |
||
точки O π, получим упорядоченную пару |
||
направленных отрезков |
OA, OB). |
|
|
|
(−→ −−→ |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
Определение 36. Упорядоченная пара некол- |
||||
линеарных векторов |
~ |
|
||
(~a, b) из V2(π) называ- |
||||
|
, если поворот OA к OB на мень- |
|||
ется правой |
−→ |
−−→ |
||
ший угол происходит против часовой стрелки. |
||||
В противном случае (~a,~b) из V2(π) – левая |
||||
пара (см. рис. 21, 22). |
|
|
||
π |
A |
π |
B |
|
B |
A |
|||
|
|
|||
~ |
~a |
|
~ |
|
~a |
b |
|||
b |
|
|
||
|
O |
O |
|
|
|
~ |
|
~ |
|
Рис. 21 Правая (~a, b) |
Рис. 22 Левая (~a, b) |
|||
|
•First |
•Prev •Next •Last |
•Go Back •Full Screen •Close •Quit |
|
~ |
в V2(π) назы- |
Определение 37. Базис (~a, b) |
||
вается правым (левым), если |
~ |
|
(~a, b) из V2(π) |
||
правая (левая) пара. |
|
|
Определение |
38. Система |
координат |
~ |
называется правой (левой), |
|
(O,~a, b) в V2(π) |
||
~ |
|
|
если базис (~a, b) правый (левый) базис. |
||
|
•First •Prev •Next •Last |
•Go Back •Full Screen •Close •Quit |
Поворот декартовой системы координат. |
|
||||
Пусть фиксирована плоскость π и |
|
|
|||
(O,~ıс,~|с), (O,~ıн,~|н) – |
π |
|
Jс |
Iн |
|
две правые декартовы |
|
|
|
|
|
Jн |
|
~|с ~ıн |
|
|
|
системы координат в |
~|н |
ϕ |
|
||
пространстве V2(π) с |
|
|
~ıс |
Iс |
|
|
|
O |
|
||
общим началом в точ- |
|
Рис. 23 |
|
|
|
ке O, которые будем |
|
|
|
|
|
называть “старой” и “новой”, соответственно. |
|
||||
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close |
•Quit |
Отложив от точки O векторы |
~ıс, ~ıн, ~|н, |
|||
получим |
три |
направленных |
отрезка |
|
OI , |
OI , |
OJ . Обозначим через ϕ угол, |
||
−−→ |
−−→ |
−−→ |
|
|
с |
н |
н |
|
против ча- |
на который нужно повернуть OI |
||||
|
|
|
−−→ |
|
|
|
|
с |
|
совой стрелки до его совпадения с OI . Этот |
||||
|
|
|
|
−−→ |
|
|
|
|
н |
угол ϕ, 0 ≤ ϕ < 2π, будем называть углом |
||||
поворота новой системы координат по |
||||
отношению к старой системе координат. |
||||
Заданием этого угла однозначно фиксируется |
||||
положение новой системы по отношению к |
||||
старой и ~ıн |
= (cos ϕ, sin ϕ) = ~ıс cos ϕ + ~|с sin ϕ |
|||
относительно старой системы координат. |
||||
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
Так как (O,~ıн,~|н) правая система коор- |
||||||||||
динат, |
то ~|н |
= |
cos ϕ + π2 |
!, sin ϕ + π2 |
!! |
= |
||||
(− sin ϕ, |
cos ϕ) |
относительно |
базиса (~ıс,~|с). |
|||||||
Итак |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ıн = ~ıс cos ϕ + ~|с sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 |
|
|
ϕ < 2π. |
(2.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~|н = |
~ıс sin ϕ + ~|с cos ϕ |
|
≤ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмём произвольную точку M плоскости |
||||||||||
π. Пусть она имеет координаты M(xс, yс) и |
||||||||||
M(xн, yн) в “старой” и “новой” системах коор- |
||||||||||
динат, соответственно. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
•First •Prev |
•Next •Last |
•Go Back •Full Screen •Close •Quit |
Тогда |
|
|
|
|
|
~rM = xс~ıс + yс~|с |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|
|
|
~rM = xн~ıн + yн~|н = |
|
|
|
||
xн(~ıс cos ϕ + ~|с sin ϕ) + yн(−~ıс sin ϕ + ~|с cos ϕ) = |
|||||
= (xн cos ϕ−yн sin ϕ) ~ıс + (xн sin ϕ+ yн cos ϕ)~|с. |
|||||
Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
xс = xн cos ϕ |
|
yн sin ϕ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
, 0 |
|
ϕ < 2π. (2.5) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
yс = xн sin ϕ + yн cos ϕ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev |
•Next •Last |
•Go Back •Full Screen •Close •Quit |
Из (2.5) выражаем xн и yн: |
|
|
|
||||
xн = |
xс cos ϕ + yс sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 |
|
ϕ < 2π. (2.6) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xс sin ϕ + yс cos ϕ |
|
|
≤ |
|
|
yн = |
− |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (2.5) и (2.6) позволяют находить |
|||||||
“старые” координаты точки M, если известны |
|||||||
“новые” и наоборот, т.е. нами получен закон |
|||||||
изменения декартовых координат при поворо- |
|||||||
те осей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev |
•Next |
•Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
Параллельный перенос декартовой системы |
||||||||||
|
|
координат. |
|
|
|
|
||||
Пусть заданы (Oс,~ı,~|), |
π |
~| |
|
|
|
|
||||
(Oн,~ı,~|) – |
две декар- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
M |
н |
|
|
|
|
||||
товы системы коорди- |
|
|
~rM |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Oн |
~ı |
|
|
||||
нат в V2(π) и Oн(a, b) в |
|
|
|
|
|
|||||
~| |
~rMс |
|
|
|
|
|
||||
“старой” системе коор- |
|
|
~rOсн |
|
|
|
|
|||
динат (Oс,~ıс,~|с). Возь- Oс |
|
~ı |
|
|
|
|
||||
мём |
произвольную |
|
|
Рис. 24 |
|
|
|
|||
точку M плоскости π. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
она |
имеет |
координаты |
M(xс, yс) |
и |
|||||
M(xн, yн) в “старой” и “новой” системах ко- |
||||||||||
ординат, соответственно. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
•First •Prev |
•Next |
•Last •Go Back •Full Screen |
•Close •Quit |
Направленные отрезки O O , O M, O M за- |
||||||||||||
|
|
|
|
−−−→ |
−−−→ −−−→ |
|||||||
дают вектора |
~r с |
|
с |
н |
с |
|
с |
|
н |
|
||
= a~ı + b~|, |
~r |
|
= x ~ı + |
|||||||||
|
|
|
Oн |
|
|
|
|
M |
|
|
с |
|
y ~|, ~r н = x ~ı + y ~|, соответственно. Так как |
||||||||||||
с |
M |
н |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~r с |
= ~r с |
+ ~r н |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
Oн |
M |
|
|
xн = xс |
|
|
|
|
|||
|
xс = xн + a |
|
|
|
a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yс = yн + b |
|
yн = yс |
− |
|
b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили преобразования координат при |
||||||||||||
параллельном переносе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
•First •Prev |
•Next •Last |
•Go Back |
•Full Screen •Close •Quit |