![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
ALGEBRA
.pdf![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz181x1.jpg)
Определение 29. Ортогональной проекцией
−→
направленного отрезка AB на ось называет-
−−→
ся направленный отрезок A0B0 , где A0 и B0 ортогональные проекции точек A и B на эту ось, соответственно. S
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz182x1.jpg)
Определение 30. Ортогональной проекцией геометрического вектора ~a на ось называется число, обозначаемое пр~e ~a, получаемое в
результате следующих построений: S
|
|
|
|
|
|
1. отложив вектор ~a от произвольной точки |
|||||
A, |
|
|
−→ |
||
|
получим направленный отрезок AB; |
||||
2. |
|
|
|
−−→ |
|
построим направленный отрезок A0B0 , яв- |
|||||
|
|
−→ |
|
|
|
ляющийся проекцией AB на ось; |
|
|
|
||
3. |
|
−−→ |
|
|
|
направленный отрезок A0B0 задаёт вектор |
|||||
~ |
V1(П); |
|
|
|
|
a0 |
|
~ |
|
||
4. |
пр~e ~a есть координата вектора |
a0 V1(П) |
|||
относительно |
базисного вектора |
|
оси ~e |
||
|
~ |
= пр~e ~a · ~e. |
|
|
|
V1(П), т.е. a0 |
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz183x1.jpg)
В определении 30 присутствует произвольная точка A. Легко видеть, что пр~e ~a не зависит от выбора точки A.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz184x1.jpg)
Теорема 13. Проекция геометрического вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между вектором и базисным вектором оси.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz185x1.jpg)
Доказательство. Отложив от точки O (точ-
ка отсчёта на оси) вектор ~a, получим направ- |
||||||||||
|
|
−→ |
|
|
−−→ |
|
|
|
||
ленный отрезок |
|
|
|
0 |
ортогональная |
|||||
OA. Пусть OA |
|
|||||||||
|
−→ |
|
~ |
V1 |
|
П |
−−→ |
|
||
проекция OA на ось и a |
0 |
( |
|
|||||||
|
|
|
|
) вектор, за- |
||||||
даваемый направленным отрезком OA0 . Тогда |
||||||||||
~ |
−−→ |
~ |
Опр.30 |
пр~e ~a · ~e. |
(2.1) |
|||||
|a0| = |OA0| и a0 |
= |
|
||||||||
Из (2.1) следует, что |
|
−−→ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|пр~e ~a| = |OA0|. |
|
|
|
(2.2) |
−−→
Обозначим угол (~aˆ~e) через ϕ. Найдём |OA0|. Возможны следующие случаи:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz186x1.jpg)
1. ϕ = 0.
~e |
a~ |
A0 |
O |
0 |
A |
~a |
||
|
Рис. 12 |
|
Тогда
(ϕ = 0) |
~ |
−−→ |
(2.1) |
|~a|) |
|
(~a = a0) (|OA0| |
= |
|
|||
(2.1) |
|
(|пр~e |
~a| |
Опр.103 |
|
(~e ↑↑ a~0) (пр~e ~a > 0) |
|
= |
(пр~e ~a
(2.2)
пр ~a)
~e
= |~a| cos ϕ).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz187x1.jpg)
2.0 < ϕ < |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
a~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
~e |
a~ |
A0 |
|
|
|
||
~e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
O |
|
|
0 |
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
Рис. 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14 |
|
|
|
|
||||
Тогда |
из |
|
|
|
|
|
−−→ |
|
|
|
OA |
|
cos ϕ = |
~a |
cos ϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2) |
|
|||||||
( |
|
4 |
OAA0) |
|
( |
OA0 |
| |
= |
| |
−→ |
| · |
|
Опр.103| | · |
|
|
|
|||
|
|
|
(2.1) |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
(пр~e ~a > 0) (|пр~e ~a| |
= |
пр~e ~a) |
|
|
||||||||||||
(~e ↑↑ a0) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(пр~e ~a = |~a| cos ϕ). |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
•First |
•Prev |
•Next |
•Last |
•Go Back •Full Screen |
•Close •Quit |
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz188x1.jpg)
3. ϕ = π2 .
A |
|
|
~a |
ϕ |
|
O A0 |
O A0 |
~e |
~e |
|
|
|
~a |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
Рис. 15 |
|
|
|
|
Рис. 16 |
||
Тогда |
|
−−→ |
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
|
= |
|
|
= 0 , т.к. |
O ≡ |
A0 |
, и пр ~a = 0. |
|||
a |
| |
| |
OA0 |
| |
|||||||
| 0 |
|
|
|
|
|
π |
~e |
||||
Следовательно пр~e ~a = |~a| cos |
2 |
= 0. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz189x1.jpg)
4. |
π < ϕ < π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
a~ |
O~e |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A0 |
0 |
|
|
|
|
O~e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 18 |
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(из |
4 |
OAA0) |
|
( OA−−→0 |
| |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA |
|
|
cos (π |
|
|
ϕ) = |
|
|
~a |
|
cos ϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| · |
|
(2.1) |
− |
|
|
−| | · |
( пр ~a |
|
Опр. |
пр ~a) |
|
|
||||||||||
|
(~e |
|
|
|
a~ ) |
|
|
(пр ~a < 0) |
|
|
|
=103 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
~e |
|
|
|
~e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↑↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
− |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(пр~e ~a = |~a| cos ϕ). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First |
•Prev •Next |
•Last •Go Back |
•Full Screen |
•Close •Quit |
![](/html/2706/276/html_KAtcLjEun1.ExeQ/htmlconvd-Ujdsfz190x1.jpg)
5. ϕ = π. |
a~ |
~e |
A0 |
||
|
0 |
|
A |
~a |
O |
|
|
Рис. 19 |
Тогда |
|
|
(ϕ = π)
↑↓ ~0
(~e a )
(2.1)
(~a = a~0) |
(2.1) |
( |
OA−−→0 |
| |
= ~a ) |
|
(2.2) |
|
|
|
| |
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр.103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(пр~e ~a < 0) (|пр~e ~a| |
= |
|
||||||
−пр~e ~a) |
|
(пр~e ~a = |~a| cos ϕ).
Мы показали, что во всех возможных случаях теорема 13 верна.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit