Lesn3_Integraly1

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

еопределенный интеграл от аналитической функции тесно связан с введенным ранее интегралом.

Теорема 4. Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и z1, z2 D. Тогда для любой первообразной F(z) функции f(z) выполняется равенство

F1(z) f (t)dt тоже является первообразной для функции f(z).

z1

По теореме 3 для некоторой константы C имеем

Равенство (5) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Из равенств (4) и (5) следует, что

280

§2. Свойства двойного интеграла

интегралы от аналитических функций вычисляются теми же методами, что и определенные интегралы в вещественном анализе.

Так как sin z - аналитическая функция на всем множестве C, то i

sinzdz = sin zdz cos z 1i = cosi cos1 cos1 ch1.

AB

1

Перейдем к рассмотрению интеграла другого частного ви-

да.

281

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Лекция 30

§9. Интеграл по контуру

Рассмотрим интеграл по контуру C. Для него, как и для интеграла по контуру от вещественной функции, используются обозначения:

Исследуем сначала свойства интеграла по контуру, которые описываются теоремами Коши.

1. Теоремы Коши

Теорема 1 (Теорема Коши для односвязной области).

f (z)dz не зависит от формы пути интегрирования. Следова-

AB

282

§9. Интеграл по контуру

Рассмотрим более сложную область.

Теорема 2 (Теорема Коши для многосвязной области).

Пусть C, C1 ,…, Cn - кусочно-гладкие контуры. Контуры C1 ,…, Cn лежат внутри контура C и вне друг друга. Об-

Сk 1 Сk

Доказательство рассмотрим для случая двух внутренних контуров. Пусть область D имеет вид. Проведем разрезы AB и EF области D. Область становится теперь односвязной. По предыду-

Перенеся последние два интеграла в правую часть равенства (*),

Что дает теорема? Сужение области, охватываемой контурfvb интегрирования.

283

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Пример 1.

Рассмотрим область D, заключенную между контурами C и C1. Все условия теоремы 3 выполнены. Поэтому имеют место равенства:

Идея стягивания контура к особой точке. Интеграл зависит от поведения функции только в малой окрестности особой точки.

2. Интегральное представление аналитических функций (Интегралы Коши)

родолжим исследование интегралов по контуру.

Теорема 3. Пусть односвязная область D ограничена кусочногладким контуром C. Пусть функция f(z) аналитична в области D и на контуре C. Тогда для всякой точки z D выполняется равенство

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

284

§9. Интеграл по контуру

Пусть C1 - окружность с центром в точке z радиуса r, целиком лежащая внутри контура C. Тогда функция g(t) анали-

за исключением точки z. В этой точке она даже не определена.

С

285

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Равенство (3) называется интегральной формулой Коши,

а интеграл в правой части этого равенства - интегралом Коши.

Замечание 1. Из равенства (1) следует, что

значения аналитичекой функции в области полностью определяются ее значениями на границе этой области.

Перепишем равенство (3) в таком виде:

где функция f(z) аналитична в области DC, z0 DC.

Замечание 2. Интегральная формула Коши в виде (4) используется для вычисления интегралов по контуру.

Пример 2.

|z 5| 2

ассмотрим теперь более общую ситуацию. Пусть функция f(z) определена и непрерывна на кусочно-гладкой кривой L. По аналогии с интегралом Коши рассмотрим интеграл

1 f (t )dt . Он задает функцию

2 i L t z

определенную для любой точки z L.

286

Теорема 4. Функция g(z), определяемая интегралом типа Коши,

Следствие. Функция f(z), аналитическая в односвязной области D и на ее границе C, имеет в данной области производные любого порядка n, определяемые равенством

Доказательство. Равенство (7) вытекает непосредственно из равенства (6). Действительно, если кривая L является контуром C, то по теореме 3 выполняется равенство g(z) = f(z).

Перепишем равенство (7) в таком виде:

где функция f(z) аналитична в области DC, z0 DC.

Замечание. Формула (8) используется для вычисления интегралов по контуру.

287

Глава V. Элементы теории функций комплексной переменной

Пример 3.

На этом мы закончим краткое знакомство с функциями комплексной переменной.

288