Lesn3_Integraly1

AB

называется линейным интегралом векторного поля F по кривой AB.

Вычисление линейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла.

В теории векторного поля важную роль играет линейный интеграл по контуру.

Определение 2. Линейный интеграл по контуру называется циркуляцией векторного поля.

Обозначение:

Циркуляция характеризует вращательную способность векторного поля по контуру. Эта характеристика является интегральной.

230

§2. Свойства двойного интеграла

ассмотрим соответствующую локальную характеристику векторного поля.

Определение 3. Ротором (вихрем) векторного поля F называ-

В общем случае, как и циркуляция, ротор характеризует вращательную способность векторного поля. Поэтому они ка- ким-то образом должны быть связаны друг с другом.

231

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

спомним формулу Стокса, связывающую криволинейный и поверхностный интегралы II рода. В векторной форме ее можно записать так:

ротора этого векторного поля через любую кусочно-гладкую

Равенство (8) означает, что ротор векторного поля в точке является вектором, проекция которого на любое направление n равна пределу при S 0 отношения циркуляции вектора по контуру С, ограничивающему плоскую поверхность (S), ортогональную направлению n , к площади S этой поверхности.

Замечание. Часто в основу определения ротора векторного поля кладут равенство (8). Тогда равенство (6) доказывается как одно из свойств ротора.

232

§2. Свойства двойного интеграла

Из равенства (8) следует, что ротор в данной точке задает направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение по сравнению с циркуляцией вокруг любого другого направления. В этом смысле циркуляция и ротор векторного поля связаны между собой так же, как производная по направлению и градиент скалярного поля.

§5. Специальные виды векторных полей

Рассмотрим векторные поля, в которых локальные характеристики, дивергенция и ротор, обладают особыми свойствами.

1. Соленоидальное поле

Определение 1. Векторное поле F называется соленоидальным (трубчатым), если для всякой точки M V

помощью оператора Гамильтона дивергенцию векторного поля F : divF ( , F ) ( , rotF1) ( ,[ , F1 ]) 0 .

Следовательно, divF 0 и поле F является соленоидальным.

Из примера вытекает, что всякое векторное поле ротора является соленоидальным.

Оказывается, имеет место и обратное утверждение.

Всякое соленоидальное поле F является полем ротора некоторого другого векторного поля F1 .

233

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Рассмотрим еще некоторые свойства соленоидального по-

ля.

1. Равенство (1) означает, что соленоидальное векторное поле не имеет источников и стоков.

2. В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Это вытекает непосредственно из формулы Остроградско- го-Гаусса.

3. Рассмотрим векторную трубку между двумя ее сечения-

Из последнего равенства следует, что поток векторного поля через поперечные сечения трубки имеет одно и то же значение для всех сечений. Эта величина потока называется интен-

сивностью векторной трубки.

234

§2. Свойства двойного интеграла

Физическая интерпретация:

при отсутствии в векторной трубке источников и стоков векторного поля расход жидкости через поперечное сечение не зависит от выбора сечения.

2. Потенциальное поле

Определение 2. Векторное поле называется потенциальным (безвихревым), если для всякой точки M V

Примеры. 2) Поле напряженности точечного заряда является потенциальным.

3)Гравитационное поле является потенциальным.

4)Рассмотрим произвольное скалярное поле U(x, y, z), определенное в некоторой области V. Возьмем в этой области векторное поле

F = gradU. Как уже отмечалось, gradU = U. Тогда согласно определению ротора получаем rotF = [ , F ] [ ,gradU ] [ , U ] 0 .

Следовательно, rotF (M ) 0 и поле F является потенциальным.

Таким образом, векторное поле градиента любого скалярного поля является потенциальным.

Оказывается, имеет место и обратное утверждение. Рассмотрим случай плоского векторного поля.

Пусть F (x, y) P(x, y) i Q(x, y) j плоское потенциаль-

По теореме 4 из §9 главы VI равенство (3) равносильно каждому из следующих трех условий.

1. Линейный интеграл (F , dr ) не зависит от формы пу-

AB

235

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

ти, связывающего точку A с точкой B.

2. Циркуляция векторного поля F по любому контуру C V равна нулю: (F , dr ) 0 .

С

3. Существует функция U(x, y), определенная в области V, для которой выполняется равенство Pdx Qdy dU .

Равенство (4) имеет место для любого потенциального векторного поля. Таким образом,

всякое потенциальное векторное поле F является полем градиента некоторого скалярного поля U(x, y, z).

Определение 3. Скалярная функция U(x, y, z), удовлетворяющая условию (4), называется потенциалом векторного

поля F .

Потенциал U векторного поля F (P,Q, R) можно найти по формуле

Из равенства (4) следует, что потенциальное поле полностью определяется заданием одной скалярной функции U(x, y, z)

- его потенциала. (Для прямого задания векторного поля F требуются три скалярные функции). Это находит свое проявление в следующих свойствах потенциального поля.

Векторные линии потенциального поля - это линии градиента его потенциала. Они являются линиями наибыстрейшего изменения потенциала.

При доказательстве теоремы 4 из §9 мы получили равен-

236

§2. Свойства двойного интеграла

ство

P(x, y)dx Q(x, y)dy = u(B) u( A) .

AB

Аналогичное равенство имеет место и для линейного интеграла по пространственной кривой:

(F , dr ) = u(B) u( A) . (6)

AB

Таким образом, в потенциальном векторном поле линейный интеграл по кривой AB равен разности потенциалов в точках B и A.

Замечание. Часто в основу определения потенциального поля кладут равенство (4). Тогда равенство (2) доказывается как одно из свойств потенциального поля.

3. Гармоническое поле

Определение 4. Векторное поле называется гармоническим, если оно является соленоидальным и потенциальным.

Пусть векторное поле F гармоническое. Так как оно является потенциальным, то существует скалярная функция U(x, y, z),

удовлетворяющая условию F gradU . Так как поле F является соленоидальным, то divF 0 . Таким образом, div(gradU ) 0 .

На языке частных производных это означает, что имеет место равенство

Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно функции U. Оно называется уравнением Лапласа , а любая

Лаплас П.С. (1749 – 1827), французский математик, физик, астроном.

237

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

функция U, удовлетворяющая ему, называется гармонической.

По свойству функции U называется и векторное поле F , порождаемое этой функцией.

Заметим, что уравнение (7) также можно записать, используя оператор Гамильтона . Если в левой части равенства убрать обозначение функции U, то получим скалярный квадрат оператора Гамильтона ( , ). Он называется оператором Лапласа и обозначается через . Тогда уравнение (7) можно представить в

заключение отметим еще одно свойство произвольного

векторного поля F . В общем случае оно не обязательно является соленоидальным или потенциальным. Однако, оно тесно связано с такими полями.

Всякое векторное поле F является суммой некоторого соленоидального Fs и некоторого потенциального поля Fp :

F Fs Fp .

На этом мы закончим исследование векторных полей.

238

§2. Свойства двойного интеграла

Лекция 25

Глава VIII

Элементы теории функций комплексной переменной

§ 1. Множество комплексных чисел

1. Основные понятия

ножество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел. Действительные числа интерпретируются как точки координатной прямой. Между числами и точками прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие. "Свободных мест" на координатной прямой нет. Поэтому комплексные числа можно попытаться интерпретировать как

точки на координатной плоскости.

Каждая точка координатной плоскости характеризуется парой действительных чисел - декартовых координат. Поэтому каждое комплексное число должно полностью определяться упорядоченной парой действительных чисел. Такой же парой действительных чисел определяется многочлен первой степени от одной переменной. Потребуем, чтобы такие многочлены обладали особым свойством.

Определение 1. Комплексными числами называются всевоз-

можные многочлены нулевой и первой степени с действительными коэффициентами от одной переменной i, которая обладает свойством

Комплексного числа обозначаются через z и записываются в виде

239