Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных
divF (M ) lim 1 (F , n )d . (6)
d 0 V
S
Таким образом, дивергенция векторного поля в точке M равна пределу при d 0 отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность S, окружающую точку M, к объему V области, ограниченной этой поверхностью.
Равенство (6) иногда берется в качестве определения дивергенции векторного поля.
авенствам (5) и (6) можно придать простой физический смысл. Рассмотрим сначала некоторую область в потоке речной воды. Если в некоторой точке M этой области находится источ-
ник воды, то divF (M ) 0 . Если же в точке M находится сток воды, то divF (M ) 0 . Наконец, если в точке M нет ни источника, ни стока, то divF (M ) 0 .
По аналогии с этим возьмем произвольную точку M из области (V). Если divF (M ) 0 , то точку будем рассматривать как источник векторного поля F . Если же divF (M ) 0 , то считаем, что в данной точке находится сток векторного поля.
Поток - это количество жидкости в единицу времени - это мощность. Равенство (6) тогда означает, что
дивергенция в точке равна мощности источника (или стока) векторного поля в этой точке.
Формула Остроградского-Гаусса (5) означает, что
поток векторного поля через замкнутую поверхность во внешнюю ее сторону равен суммарной мощности всех источников и стоков векторного поля, содержащихся внутри поверхности.
В частности, если мощность всех источников больше мощности всех стоков, то поток жидкости будет направлен из
внутренней области во внешнюю, то есть (F , n)ds 0 .
S
Пример 1.