![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
DifYr
.pdf![](/html/2706/276/html_xDnvr1NPLp.L35W/htmlconvd-uMJRTN21x1.jpg)
Глава 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
![](/html/2706/276/html_xDnvr1NPLp.L35W/htmlconvd-uMJRTN22x1.jpg)
При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие величи-
ны, характеризующие физическое явление, но в то же время легко устанавливается зависимость между теми
же величинами и их производными или дифференциалами. При этом мы получаем уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком производной.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
![](/html/2706/276/html_xDnvr1NPLp.L35W/htmlconvd-uMJRTN23x1.jpg)
1.1.Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
![](/html/2706/276/html_xDnvr1NPLp.L35W/htmlconvd-uMJRTN24x1.jpg)
Задача 1. (задача о радиоактивном распаде). Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада в каждый момент времени пропорциональна наличному количеству радиоактивного вещества. При этом предполагается, что количество радиоактивного вещества в породе настолько мало, что не вызывает цепной реакции.
Требуется найти закон распада вещества, то есть найти зависимость количества радиоактивного вещества в
породе от времени t.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
![](/html/2706/276/html_xDnvr1NPLp.L35W/htmlconvd-uMJRTN25x1.jpg)
Решение. Пусть m – количество радиоактивного вещества в породе в момент времени t. Скорость изменения
количества вещества равна dm. Обозначив через k по-
dt
ложительный коэффициент пропорциональности, который предполагается известным, запишем основной закон радиоактивного распада в виде:
dm |
= - k m |
(1.1) |
dt |
(знак минус указывает на уменьшение массы вещества при возрастании времени t, то есть скорость распада
отрицательная).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
![](/html/2706/276/html_xDnvr1NPLp.L35W/htmlconvd-uMJRTN26x1.jpg)
Задача 2. Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направлению все лучи, выходящие из
заданной точки O.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
![](/html/2706/276/html_xDnvr1NPLp.L35W/htmlconvd-uMJRTN27x1.jpg)
Решение. Из соображений симметрии следует, что форма поверхности зеркала есть поверхность вращения. Рассмотрим любую плоскость проходящую через точку O параллельно заданному в условиях задачи направлению.
На плоскости введём декартову систему координат xOy следующим образом:
поместим начало координат в точку, где расположен источник света;
направим ось абсцисс параллельно заданному в условиях задачи направлению.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
![](/html/2706/276/html_xDnvr1NPLp.L35W/htmlconvd-uMJRTN28x1.jpg)
Поверхность зеркала пересекает плоскость по кривой, уравнение которой y = f(x). Пусть луч падает на зеркало в точке M(x; y). Проведём касательную ML и нормаль MQ к graff в точке M(x; y). Так как угол падения равен углу отражения, то треугольник LMO равнобедренный:
q
OL = OM = x2 + y2;
q
LP = x + x2 + y2; MP = y:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
![](/html/2706/276/html_xDnvr1NPLp.L35W/htmlconvd-uMJRTN29x1.jpg)
Учитывая геометрический смысл производной y0, из треугольника LMP получаем дифференциальное уравнение для определения искомой кривой:
tg ' = |
MP |
= |
y |
= y0: |
(1.2) |
|
|
|
|
||||
LP |
x + p |
|
||||
x2 + y2 |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
![](/html/2706/276/html_xDnvr1NPLp.L35W/htmlconvd-uMJRTN30x1.jpg)
Задача 3. Электродвижущая сила E включается в некоторый момент времени (t = 0) в контур, состоящий из последовательно соединённых катушки самоиндукции L и активного сопротивления R.
Требуется найти ток I в момент времени t, если в начальный момент времени он был равен нулю.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit