DifYr
.pdfСледовательно, |
|
|
|
|
||
M(x; '(x))dx + N(x; '(x))d'(x) |
|
|||||
|
@U(x; '(x)) |
dx + |
@U(x; '(x)) |
d'(x) |
||
@x |
|
@y |
|
dU(x; '(x)) 0
на интервале (a; b) или
M('(y); x)d'(y) + N('(y); y)dy |
|
|||||
|
@U('(y); y) |
d'(y) + |
@U('(y); y) |
dy |
||
@x |
|
@y |
|
dU('(y); y) 0
на интервале (c; d).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Следовательно, для всех x 2 (a; b) имеем
U(x; '(x)) = C
h i
или U('(y); y) = C для всех y 2 (c; d) , то есть
graf' на интервале (a; b) [(c; d)] является частью двух интегральных кривых:
(x; y) = 0 и U(x; y) = C :
В силу теоремы 1 (Кош´и), через каждую внутреннею точку проходит единственная интегральная кривая, то есть в данном случае:
(x; y) U(x; y) - C в области D:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак, U(x; y) = C есть общий интеграл уравнения (1.58) в области D.
Пусть функции M; N : D -! R и их частные производные @M@y ; @N@x : D -! R непрерывны в односвязной области D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Для того чтобы левая часть уравнения (1.58)
M(x; y)dx + N(x; y)dy
являлась полным дифференциалом некоторой функции U(x; y) в односвязной области D необходимо и достаточно, чтобы
@M(x; y) |
|
@N(x; y) |
(1.61) |
||
|
|
|
|
||
@y |
@x |
в односвязной области D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Фиксируем произвольную точку (x0; y0) 2 D. Если условие (1.61) выполнено в области D (не обязательно односвязной), то, интегрируя первое из уравнений (1.59), имеем
x |
|
|
|
U(x; y) = Zx0 |
M(x; y) dx + '(y): |
(1.62) |
|
|
x |
|
|
При вычислении интеграла Rx0 |
M(x; y) dx |
величина y |
рассматривается как постоянная, поэтому '(y) является произвольной функцией y.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Дифференцируя тождество (1.62) по y получаем
@U(x; y) |
x |
|
@M(x; y) |
|
|||||
|
|
= Zx0 |
|
|
|
|
dx + '0(y) = |
||
@y |
|
@y |
|
||||||
|
|
|
|
x @N(x; y) |
|
||||
|
|
|
= Zx0 |
|
|
|
dx + '0(y) = |
||
|
|
|
|
@x |
|||||
|
|
|
|
= N(x; y) - N(x0; y) + '0(y) = N(x; y): |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Отсюда следует, что функция ' есть решение уравнения с разделяющимися переменными
'0(y) = N(x0; y);
одно из решений которого есть
Zy
'(y) = N(x0; y) dy:
y0
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак, функция U найдена; приравнивая её произвольному постоянному, получаем общий интеграл уравнения (1.58) в области D:
x |
|
y |
|
U(x; y) Zx0 |
M(x; y) dx + |
Zy0 |
N(x0; y) dy = C: (1.63) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Примечание. На практике оказывается проще дифференцировать равенство (1.62) по y и, заменяя @U@y извест-
ной функцией N, определить из полученного равенства '0(y), а затем найти '.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 16. Решить уравнение
[cos (x + y) + 2]dx + [cos (x + y) - 5]dy = 0; (1.64)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit