DifYr
.pdfИтак, однородное дифференциальное уравнение (1.38) можно записать в виде:
dy |
|
|
y |
|
|
|||
|
|
= ' |
|
|
(1.39) |
|||
|
dx |
x |
||||||
dy = |
или |
: |
(1.40) |
|||||
y |
||||||||
dx |
|
|
x |
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Вводя новую неизвестную функцию u = u(x) с помощью подстановки y = u x, перейдём от уравнения (1.39) к уравнению
du
dx
x + u = '(u)
или, что то же, к уравнению
du |
= |
'(u) - u |
(1.41) |
|||
dx |
|
|
x |
|
||
|
|
|
Это – уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Предположим, что функция '(u) непрерывна на интервале a < u < b и '(u) - u 6= 0. Разделяя переменные в уравнении (1.41) и интегрируя, находим общие интегралы этого уравнения (1.41) в областях fa < u < b; x > 0g
и fa < u < b; x < 0g в виде:
Z Z
du du = dx + C; '(u) - u x
где C – произвольная постоянная.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Заменяя в последнем соотношении вспомогательную функцию u ее выражением через x и y, находим общие интегралы уравнения (1.38) в областях
|
y |
|
y |
|
|||
a < |
|
|
< b; x > 0 и |
a < |
|
|
< b; x < 0 : |
x |
x |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Примечание. Если '(u)-u 0 на интервале a < u < b, то уравнение (1.38) имеет вид
ddyx = yx;
т. е. само является уравнением с разделяющимися переменными.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если же '(u) - u не равна тождественно нулю на интервале a < u < b, но есть значение u = u1, a < u1 < b, такое, что '(u1) - u1 = 0. то u = u1 – решение уравнения (1.41), а значит, y = u1 x – решение уравнения (1.38), не входящее в найденную выше совокупность решений.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 11. Решить дифференциальное уравнение
dy |
= |
x + y |
: |
(1.42) |
dx |
|
|||
|
y - x |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Так как f(x; y) = xy+-yx, то область определения уравнения (1.42) есть
domf = R2 n f(x; y) j y = xg:
Определим тип уравнения.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тип уравнения (1.42) – однородное уравнение.
Полагаем yx = u(x); y = u(x) x. Тогда y0 = u0x + u и
x |
du |
|
= |
1 + u |
- u = - |
u2 - 2u - 1 |
|
(1.43) |
||
|
|
|
|
|||||||
dx |
|
u - 1 |
u - 1 |
|||||||
|
|
|
|
– уравнение с разделяющимися переменными.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Разделяя переменные в уравнении (1.43), получим
(u - 1) du |
= - |
dx |
; u2 - 2u - 1 |
6= 0 |
(1.44) |
|
|
|
|
||||
u2 - 2u - 1 |
x |
p p
и
u2 - 2u - 1 = (u - 1 - 2)(u - 1 + 2) = 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit