Определение доверительного интервала и минимального числа измерений при нормальном распределении времени безотказной работы
Как уже упоминалось в разделе 3, распределение времени безотказной работы до появления постепенного (износового) отказа (на третьем участке рисунка 3.2) в большинстве практических ситуаций близко к нормальному, то есть хорошо описывается законом Гаусса (рисунок 3.4, б). Найдём доверительные границы для математического ожиданияМхвеличиных, распределённой по нормальному закону. Вначале требуется найти доверительную вероятность
Ρ(ε) =Ρ(|Мхстат-Мх| <ε). (7.15а)
Известно, что величина храспределена по нормальному закону, но ввиду того, что параметрыМхиσхэтого закона неизвестны, воспользоваться этим законом распределения невозможно. Чтобы обойти это затруднение, ввёдем вместо случайной величиныМхдругую случайную величинуТm:
Тm= (Мхстат-Мх) /σm, (7.15б)
где
(7.16)
В математической статистике доказано, что случайная величина Тmподчиняется закону распределения Стьюдента, предложенному в 1908 году английским математиком В. С. Госсетом (псевдоним Стьюдент) [4, 30]:
(7.17)
где Г(n/2) - гамма-функция.
Распределение Стьюдента не зависит от параметров Мхи σх величиных, а зависит только от аргументаtи числа наблюденийn. Распределение Стьюдента позволяет найти доверительную вероятность (7.15 а).
Зададимся произвольным положительным числом taи найдем вероятность попадания величиныТmна участок (-ta,ta)
(7.18)
Подставив в левую часть формулы (7.18) вместо Тmего значение из выражения (7.15 б), получим
(7.19)
где ε=ta σm,ta- квантиль распределения Стьюдента для выбранной вероятностиР(ε) и числа степеней свободыr=n - 1.
С помощью табулированной в таблице 7.8функцииtaможно решать практические задачи по точности оценки величины математического ожидания.
Доверительный интервал находится следующим образом [4]:
1. Задаемся доверительной вероятностью Р(ε). Обычно величинуР(ε) выбирают из значений:Р(ε) = 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.
2. Находим величину σmс помощью формул (7.7) дляD[хстат] и (7.16).
3. Определяем число степеней свободы r = n –1.
4. По известным значениям rиР(ε) находим потаблице 7.8 величинуta.
5. Умножая taнаσm, находим ε =ta σm- половину длины доверительного интервала.
6. Доверительный интервал будет Iε=Мх стат± ε.
Пример 7.1.
При испытании десяти устройств, отказы которых распределены по нормальному закону, получены следующие значения времени безотказной работы в часах:
|
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
t5 |
t6 |
t7 |
t8 |
t9 |
t10 |
|
150 |
100 |
70 |
200 |
100 |
100 |
150 |
200 |
80 |
150 |
Определить статистическую оценку средней наработки до отказа Т1стат,σстати найти доверительный интервалIεдляТ1статс доверительной вероятностьюР(ε) = 0,9.
Решение.
1. Находим по формуле (3.22) статистическую оценку средней наработки до отказа Т1стат
ч.
(3.22)
2. Находим величину σстатиσmс помощью формул (7.7) дляD[хстат] и (7.16) дляσm:
ч;
ч.
3. Находим:
по таблице 7.8приr = n – 1 = 10 – 1 = 9 иР(ε) = 0,9 величинуta= 1,83;
половину доверительного интервала ε=ta σm= 14,8 ч1,83 = 27 ч;
нижнюю Т1 стат Ни верхнююТ1 стат Вграницы доверительного интервала
Т1 стат Н= 130 – 27 = 103 ч;Т1 стат В= 130 + 27 = 157 ч;
величину доверительного интервала Iε= (103 ÷ 157) ч.
Таблица 7.18 - Квантили распределения Стьюдента – ta - для выбранной вероятности Р(ε) и числа степеней свободы r = n – 1 [1, 4, 30]
|
n |
Р(ε) | |||||
|
0,80
|
0,90
|
0,95
|
0,99
|
0,995
|
0,999
| |
|
2
|
3,080
|
6,31
|
12,71
|
63,70
|
127,30
|
637,20
|
|
3
|
1,886
|
2,92
|
4,30
|
9,92
|
14,10
|
31,60
|
|
4
|
1,638
|
2,35
|
3,188
|
5,84
|
7,50
|
12,94
|
|
5
|
1,533
|
2,13
|
2,77
|
4,60
|
5,60
|
8,61
|
|
6
|
1,476
|
2,02
|
2,57
|
4,03
|
4,77
|
6,86
|
|
7
|
1,440
|
1,94
|
2,45
|
3,71
|
4,32
|
9,96
|
|
8
|
1,415
|
1,90
|
2,36
|
3,50
|
4,03
|
5,40
|
|
9
|
1,397
|
1,86
|
2,31
|
3,36
|
3,83
|
5,04
|
|
10
|
1,383
|
1,83
|
2,26
|
3,25
|
3,69
|
4,78
|
|
12
|
1,363
|
1,80
|
2,20
|
3,11
|
3,50
|
4,49
|
|
14
|
1,350
|
1,77
|
2,16
|
3,01
|
3,37
|
4,22
|
|
16
|
1,341
|
1,75
|
2,13
|
2,95
|
3,29
|
4,07
|
|
18
|
1,333
|
1,74
|
2,11
|
2,90
|
3,22
|
3,96
|
|
20
|
1,328
|
1,73
|
2,09
|
2,86
|
3,17 _
|
3,88
|
|
30
|
1,316
|
1,70
|
2,04
|
2,75
|
3,20
|
3,65
|
|
40
|
1,306
|
1,68
|
2,02
|
2,70
|
3,12
|
3,55
|
|
50
|
1,298
|
1,68
|
2,01
|
2,68
|
3,09
|
3,50
|
|
60
|
1,290
|
1,67
|
2,00
|
2,66
|
3,06
|
3,46
|
|
∞
|
1,282
|
1,64
|
1,96
|
2,58
|
2,81
|
3,29
|
В период износовых отказов величина разброса параметра х, определяющая параметрическую надёжность, связана с величиной разброса времени наступления износового отказаτ, определяющей динамическую точность. Эта связь наглядно показана нарисунке 3.4, ааналитическое выражение для этой связи имеет вид
σх=с στ, (7.20)
где с- коэффициент старения;σх- среднеквадратическая ошибка измерения величины контролируемого параметрах, по измерению которого определяют времяτнаступления износового отказа;στ– среднеквадратическая ошибка измерения времениτнаступления износового отказа.
Увеличение количества измерений nи увеличение точности этих измерений позволяет увеличить достоверность и точность доверительных оценок. Если необходимо произвести оценкухстатс точностьюεи надёжностьюРД(t) = 2Ф(t), то при равноточных и независимых измерениях с известной точностьюσхпри нормальном распределении времени безотказной работы в период износовых отказов требуется число опытовn, определяемое неравенством [1]
n≥ {t[РД(t)] /εх}2σх2. (7.21)
В выражении (7.21) t = t[РД(t)] находится при условииРД(t) = 2Ф(t) иt=εх/σх) пοтаблице 7.6, аεх- половина доверительного интервала разброса параметрах. Доверительный интервал средней наработки до отказа
Iε=T1стат±ε =T1стат±εх/с. (7.22)
Если σхнеизвестна, то необходимое число измеренийnможно определить, используя формулу (7.21) итаблицу 7.6, в зависимости отРД(t),εхи отношенияt=εх/σхстат, гдеσхстат- эмпирический стандарт неизвестной ошибки, определяемый по формуле (7.7). При этом в формуле (7.21) следует заменитьσхнаσхстат.