1.2.5 Извлечение корня любой степени из комплексного числа.

Пусть требуется найти все значения корня п-й степени (п– любое натуральное число) из комплексного числа, не равного нулю. Будем решать задачу нахождения, используя тригонометрическую форму комплексного числа.

Пусть , числобудем искать также в тригонометрической форме:. Из условия, используя формулу Муавра (12), находим

.

Отсюда следует, что ,. Из первого равенства находим, что, а из второго – что.

Таким образом, получаем следующее представление:

(k-любое целое). (16)

Может показаться, что эта формула дает для бесчисленное множество значений (так какk-любое целое). В действительности же дляимеется ровнопразличныхзначений и, чтобы получить эти значения, достаточно в правой части формулы (16) положитьkравным.

В самом деле, точки

располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат. При этом, если значениеkизменяется на 1, то уголизменяется на величину, т.е. начасть полного угла. Это означает, что точкиделят указанную окружность направных частей. Значения жеk, отличные от, не дают новых точек: например,и т.д.

Итак, корень п-й степени из не равного нулю комплексного числа  имеет п различных значений, определяемых формулой

при .(17)

Точки, соответствующие этим значениям, расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят окружность на п равных частей.

В показательной форме формула (17) имеет вид

при .(18)

Пример.Найти все значения.

Решение.Имеем, так что. По формуле (17) находим. Полагаяkпоследовательно равным, найдем все четыре значения. Этими значениями являются:

;

;

;

.

Точки, соответствующие полученным числам, изображены на рис.6.