1.1.4 Геометрическое изображение комплексных чисел. Комплексная плоскость.

Если для изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то изображениями комплексных чисел служат точки координатной плоскости.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат с осями х иу. Тогда каждому комплексному числубудет отвечать точка с координатами. Эту точку чаще всего обозначают той же буквой, что и само число.

При таком способе изображения комплексных чисел любому действительному числу, т.е. числу вида , отвечает точка, лежащая на осих. Таким образом, приходим к уже известному способу изображения действительных чисел точками числовой прямойх. В связи с этим осьхназываютдействительной осью. Комплексным же числам видаотвечают точкиосиу; по этой причине осьуназываютмнимой осью. На рис. 1 указаны изображения некоторых комплексных чисел.

Наряду с изображением комплексных чисел точками плоскости применяется и другой способ изображения – с помощью векторов плоскости. Числу сопоставляется радиус-вектор точки(Рис.2). «Точечный» и «векторный» способы изображения комплексных чисел применяются одинаково часто.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов имеет то преимущество, что оно хорошо «увязано» с операцией сложения комплексных чисел. Пусть числам ,соответствуют векторы,. Тогда числусоответствует вектор с координатами, т.е. вектор. Таким образом,сложение комплексных чисел геометрически сводится к сложению соответствующих векторов. Напомним, что сложение векторов осуществляется по правилу параллелограмма (рис. 3).

у

х

Рис. 3 Рис. 4

Поскольку сложение комплексных чисел сводится к сложению векторов, это же должно быть верно и по отношению к вычитанию. Если вектор изображает комплексное число, а вектор- число, то векторявляется изображением числа. Разумеется, чтобы получить точку, изображающую число, этот вектор нужно отложить от начала координат (точка С на рис. 4).

1.2 Тригонометрическая форма комплексного числа и

ее применение.

1.2.1. Модуль и аргумент комплексного числа.

Комплексное число в прямоугольной декартовой системе координатхОуизображается либо точкойАс абсциссойаи ординатойb, либо радиус-вектором этой точки. Длина вектораназываетсямодулем комплексного числаи обозначается символом:

(1)

Угол , образованный векторомс положительным направлением осиОх, называетсяаргументомчислаи обозначается. Связь между аргументом комплексного числа и его действительной и мнимой частями выражается формулами

(2)

или . (3)

Формулы (2) и (3) позволяют для заданного комплексного числа находить модуль и аргумент. Обратно, если заданы модульи аргументкомплексного числа, то числонаходится с помощью равенств:

. (4)

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно: если - аргумент числа, то, где, - также аргумент этого числа. Для однозначности определения аргумента его выбирают в промежуткеи называютглавным значением аргумента.Главное значение аргумента обозначают .

Так как , то аргументможно представить в виде

.

Пример 1.Найти модуль и аргумент комплексного числа.

Используя формулу (1), находим модуль данного числа:

.

Далее, согласно формуле (2), получим

Так как точка, изображающая данное число, лежит во IIчетверти, тои, следовательно,.

Для главного значения аргумента справедливы соотношения:

В самом деле, так как главное значение лежит междуи, то:

1. если точкалежит вIилиIVчетверти, то и;

2. если точкалежит вIIчетверти, то и;

3) если точкалежит вIIIчетверти, то и;

Пример 2.Найти модуль и аргумент комплексного числа.

Решение.Вычислим модуль:.

Так как ,, то числолежит вIIIчетверти, поэтому.

Следовательно, , где.