2.4 Разложение правильной рациональной дроби на элементарные.
Определение. Пусть
и
многочлены степени т и п.
Если
,
то функцию
называют правильной рациональной
дробью.
Если
,
то функцию
называют неправильной рациональной
дробью.
Если
‑ частное, а
‑ остаток от деления многочлена
на многочлен
,
то
,
где либо
(в случае, когда многочлен
нацело делится на многочлен
),
либо
,
а дробь
является правильной.
I.
Пусть
и
‑ многочлены с действительными
коэффициентами,
‑ правильная дробь, а число
‑ действительный корень кратности
многочлена
.
Тогда существуют действительные числа
такие, что
где
‑ многочлен с действительными
коэффициентами или нуль,
‑ частное от деления
на
при
.
Дробь
является правильной, а числа
и многочлен
определяются однозначно.
II.
Если
и
‑ многочлены с действительными
коэффициентами, дробь
является правильной, а число
где
,
‑ корень кратности
многочлена
,
то существуют действительные числа
,
и многочлен
с действительными коэффициентами такие,
что
,
где
,
‑ частное от деления
на
.
Дробь
при
является правильно, а числа
и
и многочлен
определяются однозначно.
III.
Если
и
‑ многочлены с действительными
коэффициентами, причем
,
а
представляется в виде:
где
,
тогда
Все коэффициенты в правой части этого выражения ‑ действительные числа и определяются однозначно.