2.2 Теорема Безу. Корни многочлена и их кратность. Основная теорема алгебры.

Теорема (Безу) Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению многочлена при , т.е. .

Доказательство. Подставив в равенство вместо z значение , получим , т.е. . 

Следствие. Многочлен делится нацело на двучлен тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

Необходимость. Пусть делится нацело на . Это означает, что остаток . По теореме Безу .

Достаточность. Пусть , тогда по теореме Безу , следовательно, , т.е. делится нацело на двучлен . 

Определение. Комплексное число  называется корнем алгебраического многочлена , если .

Утверждение 1. Если комплексное число  является корнем многочлена ненулевой степени , то для справедливо представление

(3)

в котором ‑ алгебраический многочлен степени , причем коэффициент при у многочлена совпадает с коэффициентом при у многочлена .

Доказательство. Так как  ‑ корень многочлена , то , т.е. . Вычислим разность :

Итак,

,

где

.

Многочлен имеет степень и коэффициент при равен .

Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Ответ на этот вопрос дает

основная теорема алгебры, которую примем без доказательства.

Теорема (основная теорема алгебры).

Любой многочлен степени над полем комплексных чисел имеет хотя бы один корень.

С помощью этой теоремы и утверждения 1 устанавливается следующий результат.

Утверждение 2.Любой алгебраический многочлен степени имеет ровно п комплексных корней и с помощью этих корней представляется в виде

. (4)

Доказательство. Так как степень многочлена , то по основной теореме алгебры у существует хотя бы один комплексный корень . В силу утверждения 1 справедливо представление

в котором ‑ многочлен степени с коэффициентом при равным .

Если (т.е. ), то по основной теореме алгебры у многочлена существует корень . Из утверждения 1 имеем:

.

Повторяя указанные рассуждения, при , , … получим:

,

,

…………………………..

,

.

В этих представлениях , , …, , ‑ многочлены степеней , , …, 0 соответственно, у каждого из которых коэффициент при старшей степени равен . Следовательно, . Подставляя вместо значение в равенство полученное для , имеем . Теперь, подставляя значение в равенство полученное для , найдем . Продолжая процесс получим . 

Корни многочлена могут совпадать между собой. Обозначим ‑ различные корни многочлена . Тогда выражение (4) можно переписать следующим образом:

, (5)

где .

Так как ‑ различные комплексные числа, то говорят, что ‑ корень кратности , ‑ корень кратности , …., ‑ корень кратности .

2.3 Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей.

В дальнейшем будем рассматривать многочлены от переменной, принимающей только действительные значения. Поэтому эту переменную будем обозначать х а не z. Кроме того, все коэффициенты будем считать вещественными числами.

.

Если ‑ различные корни многочлена (они могут быть как вещественными, так и комплексными), тогда

,

где .

Теорема 1. Если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами , то сопряжённое комплексное число также является корнем.

Доказательство.

, где .

Так как ‑ корень многочлена, то , следовательно, . Найдем аналогично значение . Так как все коэффициенты ‑ действительные числа, то

,

так как . Мы получили, что , поэтому ‑ корень многочлена . 

Отметим, что если комплексное число является корнем кратности , то сопряженное комплексное число также является корнем кратности .

Пусть и ‑ пара комплексно сопряжённых корней многочлена , тогда делится на и , следовательно, . А это значит, что . Учитывая, что и ‑ действительные числа, видим, что . Таким образом, если , то многочлен делится на многочлен второй степени с действительными коэффициентами.

Теорема 2. Каждый многочлен с действительными коэффициентами единственным образом разлагается над полем действительных чисел в произведение линейных множителей и квадратных трехчленов:

где .

Доказательство.

Если многочлен имеет действительные корни кратностей соответственно и комплексно сопряжённые корни

и кратности ;

и кратности ;

……………………………………………….

и кратности ,

где . Тогда этот многочлен можно представить:

,

где

;

;

…………………………………………………

; . 