Теорема Моргана

.

Операции с 0 и 1:

.

Дистрибутивный закон x1+x2 x3=(x1+x2) (x1+x3)требует пояснения. Раскроем скобки в правой части равенства:

(x1+x2) (x1+x3) = x1 x1+x1 x3+x1 x2+x2 x3 = x1+x1 x3+x1 x2+x2 x3 = x1(1+x3+x2)+x2 x3=x1+x2 x3. . Равенство левой и правой частей доказано. Аналогично можно доказать правила склеивания:

x1 (x1+x2) = x1 x1+x1 x2 = x1+x1 x2 = x1 (1+x2) = x1.

Теорема Моргана основана на так называемом принципе двойственности. Если функцию и аргументы поменять на их отрицания, знак логического сложения заменить на знак логического умножения, знак логического умножения заменить на знак логического сложения, то равенство в уравнении, определяющем функцию, не нарушится.

Если , то, согласно принципу двойственности, , если же , то . Это и доказывает теоремы Моргана.

Вопросы для самопроверки

1.1. Чему равно число наборов аргументов при числе аргументов равном 2, 3, n?

1.2. Каково общее количество булевых функций двух аргументов, трех аргументов, nаргументов?

1.3. Чему равна логическая сумма двух единиц?

1.4. Запишите таблицу истинности для функции ИЛИ-НЕ.

1.5. Запишите таблицу истинности для функции И-НЕ.

1.6. Докажите, что а1+а2 а3 = (а1+а2) (а1+а3).

1.7. Докажите, что a (a+b) = a.

1.8 Докажите, что

1.9. Докажите, что

1.10. Докажите, что

2. Условные обозначения логических элементов и их схемотехническая реализация на дискретных элементах

Логические элементы представляют собой электронные устройства, в которых обрабатываемая информация закодирована в виде двоичных чисел, отображаемых напряжением (сигналом) высокого и низкого уровня. Логические элементы реализуют логические функции и называются логическими или цифровыми устройствами. Если логическому 0 соответствует напряжение низкого уровня, а логической 1 – высокого, то такую логику называют положительной, в отличие от отрицательной логики, где уровню логического нуля соответствует высокий уровень напряжения, а 1 – низкий.

В цифровых устройствах сигналы обычно изменяются только в дискретные моменты времени, интервал Т между которыми называется тактом. По характеру связи между входными и выходными переменными с учетом изменения этих связей по тактам работы различают комбинационные устройства и цифровые автоматы. В комбинационных устройствах совокупность выходных сигналов в каждый такт работы однозначно определяется входными сигналами, имеющимися в этот момент на его входах. Если входные и выходные переменные в i такте обозначить как X_i и Y_i, то связь между ними будет определяться выражением Y_i = (X_i), где  - знак выполняемого устройством логического преобразования. Логические элементы, реализующие рассмотренные выше логические функции, являются комбинационными устройствами.

Условные обозначения логических элементов представлены на рис.1.

Рис.1. Условные обозначения логических элементов

Логический элемент чертят в виде прямоугольника. Слева входы, на которые подаются сигналы, соответствующие аргументам логической функции. Справа выход, с которого снимается сигнал, соответствующий логической функции. Элемент НЕ имеет один вход и символ “1” в правом верхнем углу прямоугольника. Отрицание обозначают кружком у выхода. Элемент ИЛИ имеет 2 входа и символ “1” в правом верхнем углу прямоугольника. Для элемента И таким символом является “&” (амперсанд). Для элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ это символы «=1». Элементы ИЛИ-НЕ и И-НЕ имеют соответствующий символ внутри прямоугольника и кружок у выхода.

Логические элементы реализуются в виде интегральных микросхем, когда в одном корпусе выполняется сразу несколько логических элементов. С одной из таких схем мы познакомимся позже. Простые логические элементы ИЛИ, И, НЕ нередко реализуют на дискретных элементах. Рассмотрим логический элемент ИЛИ (рис. 2).

Прежде чем рассматривать принцип действия схемы, определим напряжения, соответствующие уровням логических 0 и 1. Для логического 0 это напряжение < 1 В, а для 1 - > 3 В.

Рис. 2. Схема логического элемента ИЛИ.

Напряжение на открытом диоде ~0,7 В. Если считать диод идеальным, то это напряжение равно 0, т.е. диод можно рассматривать как короткозамкнутую перемычку. Если диод закрыт, то он ток не проводит, в этом случае диод можно рассматривать как разрыв в цепи. Если на входные клеммы подается напряжение равное 0, то можно считать их закороченными.

Рассмотрим последовательно все возможные комбинации сигналов (см. таблицу истинности для элемента ИЛИ в табл. 2), подаваемые на входы. В первой строчке на оба входа подаются напряжения с уровнем логического 0, т.е. напряжения < 1 В. Если входные напряжения меньше напряжения открытия диода (~0,7 В), то диоды закрыты. Нагрузка схемы Rотключена от входных сигналов и, следовательно, напряжение на выходе равно 0. Если же напряжения на входах, не выходя за пределы уровня логического 0, больше напряжения открытия диодов, то диоды открыты. Напряжение на выходе схемы, т.е. на резистореR, определяется из 2 закона Кирхгофа для любой (из двух) замкнутой цепи – (Uвх-VD-R):

U_ВХ = U_VD+U_ВЫХ.

Выходное напряжение

U_ВЫХ =U_ВХ - U_VD

меньше входного, т.е. соответствует уровню логического нуля. Если считать диоды идеальными, т.е. U_VD=0, то и в этом случае напряжение на выходе не выходит за пределы уровня логического 0.

Для второй строчки таблицы истинности (х1=0, х2=1)на входх2подается напряжение > 3 В, а на входх1- < 1 В. Рекомендуется читателю нарисовать эту схему для лучшего понимания дальнейшего объяснения. Для определенности примем величину входного напряжения уровня логической единицы равным 5 В. На анод диодаVD2 подано напряжение 5 В. Катод этого диода через резисторRсвязан с минусом этого источника напряжения. ДиодVD2 открыт. Из второго закона Кирхгофа для цепи с диодомVD2 получаем напряжение на выходеU_ВЫХ =U_ВХ - U_VD. Численное решение этого уравнения дает результат:U_ВЫХ= 5 – 0,7 = 4,3 В, а это есть уровень логической единицы. ДиодVD1 закрыт, так как напряжение на его катоде (4,3 В) больше анодного (U_X1< 1 В).

Третья строчка таблицы истинности аналогична второй, только диоды обмениваются своими состояниями – VD1 открыт,VD2 закрыт.

Для четвертой строчки таблицы истинности (х1=1, х2=1)при равенстве входных напряжений и идентичности диодов оба диода открыты. Выходное напряжение соответствует уровню логической единицы и равно тем же 4,3 В. Но почему 4,3 скажет читатель. Через резисторRтекут 2 тока, и каждый из них равен 4,3/R. При сложении этих токов получим ток 8,6/R, т.е. выходное напряжение равно 8,6 В. Так ли это? Что ответить такому читателю? А вот что. Если на выходе, т.е. на катодах диодов напряжение 8,6 В, а на анодах диодов 5 В, то диоды закрыты. Но если диоды закрыты, то выходное напряжение равно 0. Приходим к полному противоречию. Следовательно, невозможно, чтобы на выходе напряжение было > 4,3 В.

Итак, мы доказали, что все строчки таблицы истинности удовлетворяются для данной схемы, т.е. она выполняет функцию ИЛИ.

Если на входы подавать разные по величине напряжения соответствующие уровню логической 1, то диод с меньшим входным напряжением будет закрыт, а с большим – открыт. Выводы делайте сами.

Элемент И (рис. 3) также состоит из диодов и одного резистора, но требует источника питания. Напряжение источника питания должно быть не меньше напряжения уровня логической 1. Заметьте, что диоды к входам подключаются катодами. В первой строчке таблицы истинности элемента И (табл. 2) на входы схемы поданы уровни логического 0, а на аноды через резистор Rнапряжение источника питанияEп. Оба диода открыты. Согласно второму закону Кирхгофа для цепи – (U_ВХ – VD – U_ВЫХ):

U_ВХ = - U_VD + U_ВЫХ ,

U_ВЫХ = U_ВХ + U_VD .

Рис. 3. Схема логического элемента И

При напряжениях на входах равных 0, напряжение на выходе будет равно напряжению на открытом диоде, т.е. 0,7 В. А это уровень логического 0. Для второй и третьей строчек таблицы истинности на один из входов подан уровень логического 0. Диод, на катод которого подан 0, будет открыт, а диод, связанный своим катодом с 1, будет закрыт. На выходе – уровень логического 0.

Для 4 строчки таблицы истинности могут быть рассмотрены 2 случая: 1) Входные напряжения Eпи 2) Входные напряжения >Еп. В первом случае оба диода открыты и напряжение на выходе определяется суммой входного напряжения и напряжения на открытом диоде, а во втором равноЕпили определяется по формуле

U_ВЫХ = Е_П  R_Н / (R + R_H),гдеR_H– сопротивление, подключенное к выходу схемы и являющееся ее нагрузкой. ЕслиR_Hотсутствует, т.е. оно равно бесконечности, то получаемU_ВЫХ = Е_П. В любом случае на выходе схемы (Y) будет уровень логической единицы. Итак, все строчки рассмотрены – схема выполняет логическую функцию И.

Для реализации элемента НЕ используется схема транзисторного ключа (рис. 4). Транзистор может находиться в одном из двух стационарных состояний – включен или выключен. Если транзистор выключен, то токи базы и коллектора транзистора равны 0. Входное напряжение никак не воздействует на выход. Напряжение на выходе определяется только напряжением источника питания Епи рассчитывается аналогично схеме элемента И при закрытых диодах. Если сопротивление нагрузки отсутствует, тоU_ВЫХ = Е_П. Выключенное состояние транзистора обеспечивается входным напряжением меньшим напряжения открытия эмиттерногоp-nперехода транзистора (0,7 В). Таким образом, при напряжении на входе, соответствующем уровню логического 0, на выходе уровень логической 1. Чтобы открыть транзистор на вход схемы необходимо подать напряжение уровня логической 1 и ввести транзистор в режим насыщения. В режиме насыщения напряжение на участке коллектор – эмиттер близко к 0 (~0,1 В). Ток коллектора насыщения определяется из 2 закона Кирхгофа для цепи коллектора:E_П = I_К  R_К + U_КЭ. Пренебрегая малым значениемU_КЭпри насыщении транзистора, имеем ток насыщения коллектораI_{К НАС} = Е_П / R_К. Ток базы насыщенияI_{Б НАС} = I_{К НАС} / B, гдеВ– коэффициент передачи тока базы при сильном сигнале. Ток базы должен превышать ток базы насыщенияI_Б > I_{Б НАС}.

Рис. 4. Схема логического элемента НЕ

Из второго закона Кирхгофа для входной цепи U_ВХ = I_Б  R_Б + U_{БЭ НАС} найдем сопротивление резистораR_Бдля надежного открытия транзистора при заданном входном напряжении:

R_Б < (U_ВХ – U_{БЭ НАС})  R_К  В / E_П.

Напряжение U_{БЭ НАС}– это напряжение на открытомp-nпереходе, оно равно ~0,7 В. Таким образом, при единичном входном сигнале на выходе уровень логического 0. Схема выполняет логическую функцию НЕ.

Элементы ИЛИ-НЕ, И-НЕ и др. можно построить из элементов ИЛИ, И, НЕ, рассмотренных выше. Однако в этом нет практической необходимости. Гораздо проще использовать логические элементы реализованные с помощью интегральной технологии.

Как уже упоминалось выше, существуют наборы логических функций, называемых полными. К полному набору относятся функции ИЛИ-НЕ и И-НЕ. Это означает, что имея достаточное количество логических элементов, например, И-НЕ можно построить любую, сколь угодно сложную, цифровую схему. Элемент И-НЕ, реализованный в интегральной технологии, получил название базового.

Вопросы для самопроверки

2.1. Из каких условных символов состоят обозначения логических элементов?

2.2. Вычислите величину напряжения на выходе элемента ИЛИ (рис. 2) при напряжениях на входах 5 и 7 В.

2.3. Определите напряжение на выходе элемента И (рис. 3) при напряжениях на входах 5 и 7 В и напряжении источника питания 10 В.

2.4. Определите напряжение на выходе элемента И (рис. 3) при напряжениях на входах 5 и 7 В и напряжении источника питания 4 В.

2.5. На схему рис. 4 подали сначала синусоидальный сигнал, а затем прямоугольные импульсы. Начертите выходной сигнал.

2.6. Транзистор логического элемента НЕ (рис. 4) находится в режиме насыщения. Определите ток коллектора при Е_п= 5 В иR_к= 1 кОм.

2.7. Начертите схему логического элемента ИЛИ-НЕ на дискретных элементах.

2.8. Начертите схему логического элемента И-НЕ на дискретных элементах.

2.9. Начертите схему логического элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ на дискретных элементах.

2.10. Как видоизменить схему, начерченную в пункте 2.9, чтобы получить логический элемент, выполняющий функцию равнозначности?