![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •1. Уравнения первого порядка
- •1.1.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, приводящиеся к ним
- •1.2. Геометрические и физические задачи
- •Задание 11
- •1.3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •Задание 2
- •1.4. Линейные уравнения, уравнения Бернулли и уравнения Риккати
- •Задание 3
- •1.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Задание 4
- •1.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения
- •Задание 5
- •1.7. Существование и единственность решения задачи Коши. Метод последовательных приближений
- •Задание 6
- •2. Дифференциальные уравнения n-го порядка
- •2.1. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка
- •Задание 7
- •2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Задание 8
- •3.1 Матричная экспонента
- •3.2. Формула Коши
- •Задание 12
- •Задание 13
- •Задание 14
- •Библиографический список
Задание 5
Найти все решения данных уравнений. Выделить особые решения (если они есть).
Уравнения 13-30 решить методом введения параметра. Найти особые решения (если они есть).
1.7. Существование и единственность решения задачи Коши. Метод последовательных приближений
Укажем условия существования и единственности решения задачи Коши (1.2) – (1.3).
Теорема
Пикара-Линделефа.
Пусть функция
непрерывна на множестве
и удовлетворяет условию Липшица по
равномерно относительно
,
то есть существует такая постоянная
,
что для
и
выполнено соотношение
Пусть М
является верхней границей для
на
,
а
.
Тогда задача Коши
имеет на отрезке
единственное решение.
Решение
задачи Коши при выполнении условий
теоремы Пикара-Линделефа может быть
найдено как предел при
равномерно сходящейся последовательности
функций
,
определяемых рекуррентными соотношениями
(1.21)
Оценка погрешности
при замене точного решения
-ым
приближением
может быть выражена неравенством
(1.22)
Заметим, что если
функция
имеет непрерывную частную производную
в
области
,
то значение постоянной ЛипшицаL
может быть определено так:
.
Пример 1.
Найти область, в которой уравнение
имеет единственное решение.
Решение.
Здесь
.
Функция
определена и непрерывна при
.
Частная производная
непрерывна и ограничена при
.
Следовательно, данное уравнение имеет
единственное решение в любой полосе
Пример 2.
Для задачи Коши
указать какой-либо интервал существования
решения. Найти это решение методом
последовательных приближений,
ограничившись приближениями
и оценить ошибку третьего приближения.
Решение.
Рассмотрим прямоугольник
.
На множестве
.
Поэтому интервал существования решения
.
Значит, решение существует при
и на этом же интервале сходятся
последовательные приближения.
Последовательные приближения найдем
по формуле (1.21):
Оценим теперь
ошибку третьего приближения, пользуясь
формулой (1.22). В качестве значения
постоянной L
можно взять верхнюю границу для
наG:
Поэтому
.
Задание 6
Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует решение с данными начальными условиями:
;
;
.
Построить
последовательные приближения
к решению данного уравнения с данными
начальными условиями, указать какой-либо
интервал, на котором сходится
последовательность приближений:
Для следующих уравнений построить третье приближение в заданной области (или на заданном интервале) и оценить его ошибку.
Для следующих уравнений выделить области на плоскости (x,y),в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения.
2. Дифференциальные уравнения n-го порядка
Дифференциальное уравнение вида
называется
дифференциальным уравнением
-го
порядка не разрешенным относительно
старшей производной. Если удается
разрешить его относительно
,
то получаем
.
(2.1)
Теорема Коши
(существования
и единственности решения). Пусть функция
,
рассматриваемая как функция
переменной, непрерывна в некоторой
области
,
содержащей точку
,
вместе со своими частными производными
.
Тогда существует интервал
и определенная на немn
раз дифференцируемая функция
,
удовлетворяющая уравнению (2.1) и начальным
условиям
.
(2.2)
Функция
,
обладающая указанными свойствами,
единственна.
Определение.
Общим
решением уравнения (2.1) (удовлетворяющего
условиям теоремы Коши) называется
функция
,
зависящая отx
и n
произвольных постоянных
,
такая, что
для любых значений произвольных постоянных
функция
есть решение уравнения (2.1);
существуют единственные значения
такие, что
есть решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальному условию (2.2).
Если общее решение
в области
задано неявно соотношением
,
то оно называется общим интегралом уравнения.
Любое решение,
получающееся из общего при конкретных
значениях произвольных постоянных
,
называетсячастным
решением.