![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •1. Уравнения первого порядка
- •1.1.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, приводящиеся к ним
- •1.2. Геометрические и физические задачи
- •Задание 11
- •1.3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •Задание 2
- •1.4. Линейные уравнения, уравнения Бернулли и уравнения Риккати
- •Задание 3
- •1.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Задание 4
- •1.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения
- •Задание 5
- •1.7. Существование и единственность решения задачи Коши. Метод последовательных приближений
- •Задание 6
- •2. Дифференциальные уравнения n-го порядка
- •2.1. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка
- •Задание 7
- •2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Задание 8
- •3.1 Матричная экспонента
- •3.2. Формула Коши
- •Задание 12
- •Задание 13
- •Задание 14
- •Библиографический список
3.1 Матричная экспонента
Другой метод
решения линейных систем с постоянными
коэффициентами основан на использовании
в качестве фундаментальной матрицы
матричной экспоненты
Матрица
определяется как сумма ряда
Если матрица
найдена, то решение системы (3.1) с
начальным условием
имеет вид
.
Для отыскания
матрицы
могут быть применены различные приемы,
в зависимости от структуры спектра
матрицы
.
Если все собственные значения
матрицы
– действительные различные числа, то матрицу
удобно находить так:
,
(3.6)
где
(матрица, составленная из столбцов
координат собственных векторов матрицыА),
а
.
Если среди различных собственных значений матрицы А имеются комплексные, то матрица
в вещественной форме может быть найдена с помощью следующего приема: нужно найти общее решение системы (3.1) так, как это было описано выше, а потом составить матрицу,i-ым столбцом которой будет решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям
,
.
Пример 4.
Для матрицы системы из примера 2 найти
.
Решение. Составим
матрицу
из столбцов координат собственных
векторов матрицы
:
.
Тогда
.
Пример 5. Для
матрицы
найти
.
Решение.
Собственные
значения матрицы
– комплексно сопряженные числа
.
Собственный вектор, соответствующий
.
Имеем:
Поэтому общее
решение линейной системы (3.2) с заданной
матрицей
имеет вид
Найдем,
сначала
частное
решение,
удовлетворяющее
условию
.
Оно будет иметь вид
Частное
решение,
удовлетворяющее
условиям
,имеет вид
Поэтому
.
Если среди собственных значений матрица
имеются кратные, то следует отыскать матрицу
, приводящую матрицу
к жордановой форме:
.
Жорданова
клетка
,
соответствующая
корню
кратности
,имеет
вид
.
Для такой клетки легко находится
.
(3.7)
Проведя
такие
построения
для
каждой
клетки
Жордана,
находим
.Тогда
.
Пример
6.
Вычислить
матрицу
,
если
.
Решение.
Собственные значения данной матрицы
.
Так как ранг матрицы
равен 1, то жорданова форма матрицыА
имеет вид
.
Матрицу
,
приводящую матрицуА
к жордановой форме, найдем из уравнения
.
Пусть
.
Тогда
для
отыскания элементов матрицы
получим уравнение
.
Это матричное уравнение эквивалентно системе
,
решение которой
следующее:
.
Итак,
.
Согласно
формуле
(3.7)
.
Поэтому
(3.8)
3.2. Формула Коши
Решение неоднородной системы с постоянными коэффициентами
,
(3.9)
удовлетворяющее
начальному условию
,
может быть выражено через экспоненциал
матрицы системы по формуле
(3.10)
Если решение системы (3.9) записано в виде (3.10), то говорят, что оно записано в форме Коши.
Пример
7.
Найдя матрицу
,
записать решение системы
в форме Коши.
Матрица
для рассматриваемой системы уже была
найдена в предыдущем примере, и она
имеет вид (3.8). Согласно формуле (3.10),
можем записать
Задание 12
Решить линейную систему путем сведения ее к одному уравнению высшего порядка