3.3.Векторные диаграммы.

При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты ƒ, но имеющих разные амплитуды (I_m , E_m , U_m) и начальные фазы (ψ_i , ψ_u , ψ_e ).

Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических преобразований или геометрически.

Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.

Синусоидальную величину (например, u = U_m cos(ωt + ψ_u ) изображают в виде радиуса-вектора (см. рис.10), иногда просто U_m или U, или вектором на комплексной плоскости, тогда между гармонической величиной и вектором на комплексной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие, которое записывается в виде u→U_me^j(ωt+α) = ů-комплексное мгновенное значение.

ω

Ū_m

ψ

Рис.10

ψ – угол, образованный U_m с осью Х в начальный момент времени, называемый начальной фазой. Вектор U_m вращается в заданной плоскости вокруг точки О с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω, против часовой стрелки. Причем проекция этого вектора на ось «х» в любой момент времени и определеяет гармоническую величину Пр(U_m)_х = U_m cos(ωt + ψ_u). Направление вектора не указывает направление действия напряжение (или тока и э.д.с.). Это его отличие от векторов в механике, которыми обозначаются величина и направление силы, скорости, ускорения.

Сумма двух синусоидальных величин изображается суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые, а линейная комбинация нескольких синусоидальных величин – соответствующей линейной комбинацией векторов. Такое изображение синусоидальных величин называется векторной диаграммой. При построении векторных диаграмм один из векторов – исходный располагают произвольно, другие векторы – под соответствующими углами к исходному.

Пусть необходимо сложить две гармонические функции с одинаковым периодом, но разными начальными фазами (см.рис.11):

u₁ = U_m1 cos (ωt + α₁) и u₂ = U_m2 cos (ωt + α₂) .

Рис.11

По известному правилу сложения векторов можно получить вектор , изображающий сумму обеих функций u₁(t) и u₂(t), как геометрическую сумму векторов , изображающих эти функции. Все три векторы вращаются одновременно с угловой скоростью ω. Поэтому практически всегда изображают относительное расположение векторов и осей в момент t = 0.

Геометрическое построение, описанное выше, определяет амплитуду ОМ = U_m, фазу α

Часто нужно вычислять производную или интегралы гармонических функций времени типа u(t) = U_mcos(ωt + α) . Имеем

.

3.4. Цепи с последовательным соединением элементов r l c.

Для последовательной цепи, состоящей из нескольких элементов, строится векторная диаграмма напряжений.

За исходный вектор принимается вектор тока, т.к. при последовательном соединении через все элементы цепи протекает один и тот же ток. Может быть показано, что напряжения на отдельных участках цепи сдвинуты по фазе относительно тока.

Пусть в цепи только активное сопротивление R.

По закону Ома ток в такой цепи

Т.к. U = U_m cos ωt, то .

Отсюда следует, что напряжение и ток совпадают по фазе, а амплитуды тока и напряжения связаны законом Ома.

б) Пусть в цепи только индуктивность L.

Допустим, что ток в цепи i = I_m cosωt.

Этот ток в индуктивности вызывает э.д.с. самоиндукции

.

По 2-му закону Кирхгофа: e_L = -u_L,

отсюда получаем u_L = – ωL I_m sin ωt = U_mL cos(ωt + π/2).

Из этого следует, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол π/2, а амплитуды тока и напряжения можно то же связать законом Ома, если считать, что ωL=х_L – индуктивное реактивное сопротивление

Рассуждая аналогично, для цепи с емкостью С выявим, что напряжение на емкости отстает от тока на угол π/2 (рекомендуется установить самостоятельно), а амплитуды тока и напряжение можно связать законом Ома, если считать – реактивным емкостным сопротивлением.

Таким образом, векторная диаграмма действующих значений напряжений для цепи с последовательно соединенными элементами R, L, C (см.рис.12) будет иметь вид, как показано на рис.13.

Рис.12 Рис. 13.

Вектор напряжения , приложенного к цепи, определяется как сумма векторов, а его величина равна

Для удобства восприятия взаимоотношений векторов, построим векторную диаграмму (рис. 15) напряжений для цепи, которая изображена на рис.14.

~ R₁ L R₂ C ~

U_R1 U_L U_R2 U_C

U

Рис. 14

Для произвольных значений сопротивлений R, X_L и X_C и тока I она будет иметь вид, показанный на рис 15.

Рис. 15

Вектор напряжения равен сумме векторов напряжений на отдельных участках цепи

.

Если сумму векторов представить следующим образом:

,

то в соответствии с этой записью векторную диаграмму можно изобразить так, как показано на рис.16 или на рис.17.

Рис. 16 Рис. 17

Векторная диаграмма, представленная на рис.17 называется треугольником напряжений. Вектор результирующего напряжения на рис.17 опережает вектор тока I на угол φ =ψ_u – ψ_i.

Если модули векторов треугольника напряжений разделить на модуль вектора тока, то получим сопротивления последовательной цепи R , X, Z :

R = R₁ + R₂ ; X = X_L – X_C

Эти сопротивления соотносятся как стороны прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник, стороны которого численно равны величинам R, X, Z, называется треугольником сопротивлений (см. рис.18).

Рис. 18

Таким образом, или– это выражение является законом Ома для последовательной цепи переменного тока.

На рис. 15, 16, 17, 18 рассмотрен случай, когда X_L>X_C(U_L>U_C). Если Х_L<X_C, треугольники напряжений и сопротивлений будут иметь вид, показанный на рис.19(а,б).

а) б)

Рис. 19

Обычно для расчета электрических цепей используют комплексные числа. Тогда все векторы можно изобразить на комплексной плоскости, как показано на рис.20 для цепи рис.14 (значения величин произвольные).

Рис.20

В комплексной форме полное напряжение записывается следующим образом

Ů = Ů_а + Ů_L + Ů_C

Для цепи на рис.14

Ů_a = Ů_R1 + Ů_R2 , R = R₁ + R₂ ,

или Ů = İR + jωLİ + İ / jωC = (R + j (ωL – 1 / ωC)) İ.

Это соотношение есть закон Ома, записанный в комплексной форме. Сомножитель перед I есть полное сопротивление последовательной цепи в комплексной форме .

Полное комплексное напряжение Ů =İ

В последовательной цепи возможен частный случай, когда X_L=X_C, при этом наступает режим, называемый резонансом напряжений. В этом случае ток в цепи максимальный. Большой ток, по закону Джоуля-Ленца, вызывает большие потери в проводах. В электроснабжении же всегда стоит задача снижения тока в подводящих проводах к приемнику. Те есть последовательный резонанс, с этой точки зрения, режим не экономичный.

Эту задачу можно решить, используя резонанс токов, который возникает в параллельной цепи, если в них содержатся реактивности с разным характером полей.