Практическое занятие № 4

Прогнозирование продаж с применением аддитивной модели с учетом сезонных колебаний.

Целью практического занятия является закрепление материала по теме прогнозирование продаж, ознакомление с моделями сезонных колебаний и построение аддитивной модели с учетом сезонных вариаций.

Для аддитивной модели фактическое значение продаж выглядит следующим образом:

(4.1)

где – фактические значения;– модель трендовой составляющей прогноза (может быть как линейной, так и нелинейной функцией);– модель сезонной составляющей (обычно задаётся тригонометрической функцией);– ошибка аддитивной модели.

Особенностью динамического ряда является явно выраженная сезонность, которая учитывается с помощью тригонометрических функций. Так, например, модель тренда может иметь следующий вид: 

(4.2)

где – объем продаж;h – частота колебаний; _j – текущее время (квартал); a, b – искомые коэффициенты модели.

Задание 4.1. По данным (табл.4.1), представленным в виде динамического ряда поквартальных продаж (тыс.руб.), необходимо построить траекторию тренда и сделать прогноз на два квартала вперед.

Таблица 4.1

Объем продаж

Квартал	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж	150	121	70	110	152	130	75	128

 Результаты расчётов представить в виде графика , включая прогнозные значения для двенадцатого (x₁₂) и тринадцатого (x₁₃) кварталов.

Порядок выполнения задания:

1. Построим график фактических данных продаж для определения частоты колебаний сезонной составляющей (рис.4.1).

Рис.4.1 Динамика объёма продаж

2. Определим частота сезонных колебаний из следующего соотношения:

1=Cos(2π)=Cos(hr),   (4.3)

откуда  h=2π/r, где r – количество кварталов между двумя соседними пиками продаж (период). Первый пик приходится на x₄, а второй на x₈, т.е.  r=4 и, следовательно, имеем h=π/2.

3. Преобразуем нелинейную модель в линейную, для этого необходимо выполнить следующую замену переменных:

. (4.4)

После замены переменных получаем новую линейную модель сезонных колебаний:

  (4.5)

4. Рассчитываем коэффициенты a и b модели (4.5), используя метод наименьших квадратов (2.1) – (2.2). Данные для расчёта коэффициентов представлены в табличной форме (табл.4.2).

Таблица 4.2

Форма таблицы для расчёта параметров модели сезонных колебаний

Квартал	x	z(x)=cos(π/2x)	y	z2	zy
4	4	1	150	1	150
5	5	0	121	0	0
6	6	-1	70	1	-70
7	7	0	110	0	0
8	8	1	152	1	152
9	9	0	130	0	0
10	10	-1	75	1	-75
11	11	0	128	0	0
Сумма		0	936	4	157

5. Производим обратную замену переменных. Искомая модель сезонных колебаний выглядит следующим образом:

.

6. Построим график модели сезонных колебаний S(x) с учётом прогнозных значений для x₁₂ и x₁₃.

Рис.4.2 Модель сезонных колебаний

Задание 4.2. В таблице 4.3 представлены объёмы продаж (тыс.руб.) за последние 12 кварталов. Необходимо рассчитать аддитивную модель на основании этих данных и прогноз объемов продаж на следующий год. Результаты расчётов представить в виде графика , включая прогнозные значения.

Таблица 4.3

Объем продаж

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Объем продаж	4	7	4	6	10	12	11	9	12	15	14	11

Порядок выполнения задания:

1. Построим график фактических данных продаж (рис.4.3).

Рис.4.3 Динамика объёма продаж

2. Найдём – линейную трендовую составляющую аддитивной модели с помощью МНК.

3. Рассчитаем – «невязку» трендовой модели с фактическими данными.

(4.6)

4. Построим график «невязки» для определения частоты сезонных колебаний. Определим частоту сезонных колебаний.

5. Вычислим параметры модели сезонных колебаний. Для этого преобразуем нелинейную модель сезонных колебаний в линейную модель

6. Рассчитаем значения аддитивной модели.

(4.7)

7. Результаты расчётов представим в виде графика , включая прогнозные значения для следующего года.

Задание для самостоятельного решения:

Задание 4.3. В таблице 4.4 представлены объёмы продаж (тыс.руб.) за последние 12 кварталов. Необходимо рассчитать аддитивную модель на основании этих данных и прогноз объёмов продаж на следующий год. Результаты расчётов представить в виде графика , включая прогнозные значения.

Таблица 4.4

Объем продаж

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Объем продаж	80	62	51	125	103	82	75	80	62	51	125	103