- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
2.1. Прямая на плоскости
Уравнение вида
называется общим уравнением прямой.
Уравнение вида
называется уравнением прямой с угловым коэффициентов, здесь ,- угол, образованный прямой с положительным направлением осиОх, b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
Пусть даны две точки прямой и.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид
.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении, определяемом угловым коэффициентом k , имеет вид
.
Условие параллельности двух прямых
Две прямые параллельны в том и только в том случае, когда составляют равные углыс осьюОх, следовательно или.
Условие перпендикулярности двух прямых
Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, когда угол между ними равен , т.е..
Координаты точки , делящей отрезокАВ в данном отношении , где,, можно вычислить по формулам
.
В частности, если , то, т.е.М – середина отрезка АВ, то формулы примут вид
.
Если уравнение прямой дано в общей форме: , то расстояние точкидо этой прямой находится по формуле:
.
Площадь треугольника с вершинами ,можно вычислить по формуле
.
Пример
Даны вершины треугольника . Найти:
1) уравнение стороны АВ;
2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;
3) координату точки пересечения медиан;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;
5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
6) площадь треугольника.
Решение
Используем уравнение прямой, проходящей через две точки . Подставив координаты точек, получим
- общее уравнение прямой АВ, из которого находим уравнение прямой с угловым коэффициентом ,.
Медиана, проведенная из вершины С делит противолежащую сторону АВ треугольника пополам. Найдем координаты точки Е середины стороны (рис.1):
, т.е. ,. Подставим координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, получим- общее уравнение прямойСЕ.
Точка М делит каждую медиану в отношении , считая от вершины. Таким образом, ее координатыможно найти по формулам:
.
В нашем случае
,
откуда .
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно прямой из уравнения . Найдем угловой коэффициент прямойАС, используя уравнение прямой, проходящей через две точки и :
- уравнение АС.
Угловой коэффициент прямой АС равен , тогда, используя условие перпендикулярности двух прямых, получим
- уравнение высоты.
Длину высоты можно найти, как расстояние от точки до прямойАС по формуле . В нашем случае уравнение прямойАС: , следовательно,
.
Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении и условие параллельности двух прямых. Известно, что угловой коэффициент прямойАВ равен , следовательно,
-
- уравнение искомой прямой.
Площадь треугольника находится по формуле: , в нашем случае
.
у А(4;6)
Е
В(-4;0) М
0 1 х
С(-1;-4)
Рис. 1