- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
1.3. Обратная матрица
Пусть дана квадратная матрица А порядка n.
Обратной матрицей по отношению к данной А называется матрица , которая будучи умноженной, как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.
По определению
А ·=· А = Е.
Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной.
Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле
,
где - определитель матрицыА, - союзная матрица по отношению к данной матрице, в которой элементы каждой строки данной матрицы заменены алгебраическими дополнениями элементов соответствующих столбцов. Например, для квадратной матрицы 2-го порядка союзной является матрица
,
для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица
.
Пример
Для матрицы найти обратную.
Решение
Обратную матрицу находим по формуле
.
Определитель матрицы , следовательно, матрица неособенная и обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:
.
Тогда обратная матрица имеет вид
.
1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
. (1)
Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то такая система называетсянеоднородной. Если же , то такая система называетсяоднородной.
Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства.
Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной. Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.
Формулы Крамера для решения слаУр
Если определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера. Формулы Крамера имеют вид
,
где
.
В знаменателях этих формул стоит определитель системы , а в числителях – определители, которые получаются из определителя системызаменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.
Пример 1.
Решить систему по формулам Крамера.
Решение
Формулы Крамера: . Вычислим определители:
,
, тогда
, ,.
Итак, ,,.
Ранг матрицы
Пусть дана матрица .
Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rang A, r(А) или r.
Очевидно, – меньшее из чиселm и n.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Вычисление всех миноров отличных от нуля трудоемкая операция. На практике для вычисления r(A) используют метод Гаусса.
Элементарными преобразованиями называются следующие действия над матрицами:
Вычеркивание нулевой строки.
Умножение какой либо строки на число.
Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.
Перестановка двух столбцов или двух строк.
Теорема 1. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.