![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Классификация точек разрыва
Определение.
Если в точке
функция
имеет пределы слева и справа и они равны
между собой, а в точке
или
функция не определена, то точка
называетсяточкой
устранимого разрыва
функции
.
В этом случае
функцию можно доопределить в точке
так, чтобы она стала непрерывной, т.е.
положить
.
Определение.
Если в точке
функция
имеет конечные пределы слева и справа,
причем
,
то точка
называетсяточкой
разрыва функции
1-го рода.
При переходе через
точку
значение функции
претерпевает скачок, измеряемый разностью
.
Определение.
Точка
называетсяточкой
разрыва 2-го рода,
если в этой точке хотя бы один из пределов
(справа или слева) не существует или
равен
.
Пример
В точках
и
для функции
установить характер точек разрыва.
Решение
Область определения
функции
.
Данная функция непрерывна во всех
точках, кроме точек
и
,
которые не входят в область определения
функции.
Исследуем точку
,
находя ее односторонние пределы в этой
точке:
если
,
то
,
тогда предел слева
,
если
,
то
,
тогда предел справа
.
Так как односторонние
пределы конечны, но не равны между собой,
то в точке
функция
имеет разрыв 1-го рода (скачок функции).
Исследуем точку
,
находя ее односторонние пределы в этой
точке:
если
,
то
,
тогда
,
если
,
то
,
тогда
.
Так как односторонние
пределы равны
,
то в точке
функция
имеет разрыв 2-го рода.
3.5. Правила дифференцирования
Определение.
Производной
функции
в данной
точке х
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, при
,
если он существует.
По определению
.
Таблица производных
№ |
|
№ |
|
1 |
|
10 |
|
2 |
|
11 |
|
3 |
|
12 |
|
4 |
|
13 |
|
5 |
|
14 |
|
6 |
|
15 |
|
7 |
|
16 |
|
8 |
|
17 |
|
9 |
|
18 |
|
Правила дифференцирования
1.
Производная постоянной равна нулю:
.
2.
Теорема.
Если каждая из функций
и
дифференцируема в данной точкех,
то сумма, разность, произведение и
частное (частное при условии
)
так же дифференцируемы в этой точке,
причем имеют место формулы:
1)
,
2)
,
3)
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
.
Пример
Используя таблицу
производных и правила дифференцирования,
найти производную функции
.
Решение
3.6. Производная сложной функции
Пусть дана сложная
функция
где
или
.
Теорема.
Если функция
дифференцируема в точке
,
а функция
дифференцируема в точке
,
тогда сложная функция
дифференцируема в точке
,
причем
или
Замечание.
Теорема может быть обобщена на случай
любой конечной цепочки функций. Так,
если
,
или
и существуют производные
,
то
.
Пример
Найти производную
функции
.
Решение
Здесь
,
,
тогда
.
3.7. Метод логарифмического дифференцирования
Метод логарифмического
дифференцирования удобен для нахождения
производной показательной функции
,
показательно – степенной функции
,
а также, если функция представляет собой
выражение вида
.
Этот метод состоит в следующем: данное
выражение сначала логарифмируют по
основаниюе,
а затем дифференцируют как тождество,
получая уравнение для нахождения
производной.
Пример
Найти производную
функции
применяя метод логарифмического
дифференцирования.
Решение
Здесь основание
и показатель степени зависит от х.
Логарифмируем обе части равенства
по основаниюе:
,
применяя свойства логарифмов, получим
.
Продифференцируем обе части последнего равенства по х, рассматривая у как функцию х:
,
умножим
обе части равенства на у
и подставим вместо у
его выражение
,
получим
.