2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве

Векторные величины (векторы) – это такие величины, которые характеризуются не только своими числовыми значениями, но и направлением.

Для изображения векторных величин служат геометрические векторы. Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Координатами вектора в прямоугольной системе координатназываются проекциивекторана оси координат. Записьозначает, что векторимеет координаты.

Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле

.

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами точек его начала и конца надо найти разности соответствующих координат его конца и начала, т.е. если задан вектор , где, то

.

Тогда модуль вектора находится по формуле

.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

Обозначают: () или. По определению

, где .

Пусть векторы заданы аналитически:

.

Выражение скалярного произведения через координаты перемноженных векторов:

.

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле

.

Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, обозначаемый символомили, определяемый условиями:

1. модуль этого вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, т.е.

;

2. этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов, т.е. плоскости, определяемой этими векторами;

3. направлен по перпендикуляру к этой плоскости так, что векторы исоставляют правую тройку (т.е. если при наблюдении с конца векторакратчайший поворот от векторак векторупроисходит против часовой стрелки.)

Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях – в этом состоит геометрический смысл модуля векторного произведения:

.

Пусть даны два вектора и. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов:

.

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторана вектор, т.е..

Если векторы заданы своими прямоугольными координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

.

Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на 3-х некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения

.

Тогда объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, находится по формуле

.

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Если ,три данные точки, не лежащие на одной прямой, апроизвольная точка плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид

.

Уравнение прямой, проходящей через две точки пространства имеет вид

.

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле

,

где коэффициенты выбирают из канонических уравнений прямой

и общего уравнения плоскости

,

где - вектор нормали к плоскости.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

Пример

Даны вершины треугольной пирамиды Найти:

1) угол между ребрами и;

2) площадь грани ;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты, опущенной из вершины на грань;

5) угол между ребром и гранью;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань.

Решение

А4 А2 В А1 А3 Рис. 2

1) Угол между ребрами инаходим с помощью скалярного произведения векторов по формуле , найдем координаты векторов тогда косинус угла между векторами .

2) Площадь грани находим с помощью векторного произведения векторов. Найдем координаты вектора, тогда площадь треугольника находим по формуле

.

Найдем векторное произведение векторов

модуль векторного произведения равен

,

откуда находим площадь треугольника

3) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле

,

так как выше найдены координаты векторов

,

подставим координаты векторов в формулу, получим

.

4) Для нахождения длины высоты h, опущенной из вершины на граньприменим формулу

,

откуда находим

5) Общее уравнение плоскости :

,

нормальный вектор плоскости .

Уравнение высоты :.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

В нашем случае , тогда уравнение высоты имеет вид

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной

1. Вычислить предел

2. Вычислить предел .

3. Вычислить предел .

4. В точках идля функцииустановить непрерывность или определить характер точек разрыва.

5. Найти производную функции .

6. Найти производную функции

7. Найти производную функции , применяя метод логарифмического дифференцирования.

8. Найти производную функции, заданной неявно: .

9. Найти производную функции, заданной параметрически: .

10. С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .