Образец выполнения

Условия задачи.Прямоугольная пластина (рис.9а) вращается вокруг оси O₁O согласно уравнению= – 4t²(рад); положительное направление отсчета углауказано на рис.9а дуговой стрелкой. ТочкаMсовершает относительное перемещение вдоль отрезкаADпо закону AM= s= 60 (t²–t) + 20 см .

Определитьабсолютную скоростьv_аи абсолютное ускорениеa_аточкиMв момент времениt₁= 1 с.

Решение. Рассмотрим движение точкиMкак сложное, состоящее из относительного движения точки вдоль диагоналиADпластины и пе-

Рис. 9а

Рис.9б

реносного вращения вместе с самой пластиной.

Установим положение точки Мна диагоналиADв момент времениt₁= 1с.

Относительное движение точки Мпроисходит по закону

s= 60 (t²–t) + 20 .

Полагая здесь t= 1 с, получимs= 20 см. Изображаем соответствующее положение точкойM₁на рис. К9а (АM₁= 20 см ) .

Определяем кинематические характеристики относительного и переносного движений.

Находим векторы относительной скорости v_rи ускоренияa _r . Дифференцируя зависимостьs(t) по времени, находим выражение для значения относительной скорости

, (2)

откуда для момента времени t₁= 1cполучаемv_r= 60 см/с.

Поскольку траекторией относительного движения является прямая, то величина относительного ускорения точки Мвыражается второй производной отsпо времени

см/с² . (3)

Положительные значения производных (3), (4) указывают, что векторы v_rиa _rнаправлены в сторону положительного отсчета дуговой координатыs. Изображаем эти векторы на рис.9а и 9б, приложенными к точкеM₁.

Находим векторы переносной скорости v_eи ускоренияa _e . Уравнение переносного вращения пластины:= – 4t²(рад). Положительное направление отсчета углауказано на рис.9а дуговой стрелкойcбуквой .

Дифференцируя зависимость  (t) по времени, найдем выражения для переносной угловой скорости

(с^-1) (4)

и переносного углового ускорения

с^-2. (5)

Для момента времени t =1с из выражения (4) имеем_e= – 8 с^-2. Отрицательное значение производной (4) указывает, что направление вращения пластины противоположно положительному направлению отсчета угла.; покажем направление вращения пластины на рис.9а дуговой стрелкой с буквой _е. Вектор переносной угловой скорости_e направлен вдоль оси вращенияОО₁пластины так, что с его конца вращение наблюдается происходящим против хода часовой стрелки. Изобразим вектор_eна рис.9а.

Знаки при _eи _e одинаковы (оба отрицательны), а следовательно, вращение пластины является ускоренным. Изображаем это дуговой стрелкой _eна рис.К9б.

Переносные скорость и ускорение точки Мв момент времениt₁- это скорость и ускорение точкиМ₁пластины. При вращении пластины её точкаМ₁описывает окружность радиусаh=AM₁sin30= 10 см. Тогда модуль вектора переносной скорости

, (6)

а вектор переносного ускорения складывается из касательной a_eи нормальнойa_enсоставляющих

, (7)

модули которых определяются по формулам

,. (8)

Изображаем векторы v_e,a_e,a_enприложенными в точкеM₁на рис.9а и 9б. Векторыv_e,a_eнаправлены по касательной к траектории точкиМ₁ (окружностиL) в сторону вращения пластины; векторa_enнаправлен вдоль радиуса окружностиL к оси вращенияO₁O.

Находим вектор ускорения Кориолисаa_к , используя известную формулу [1, с.162]:

a _к= 2_e ×v_r

Модуль этого векторного произведения , где

угол между векторами относительной скорости v_rи переносной угловой скорости_eсоставляет 150(см. рис.9б). С учетом (2) и (4) для момента времениt₁= 1 с получаем:

a_к= 2·8·60·sin150= 480 см/с². (9)

Направление a _кудобно находить по правилу Жуковского. Проектируем векторv_rна плоскость переносного вращения (плоскость окружностиL). Затем поворачиваем полученную проекцию, направленную противоположно векторуa _еn, на 90в сторону переносного вращения (в данном случае - по ходу часовой стрелки). В результате установим, что направления векторовa _киa _есовпадают (рис.9, б).

Находим абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M, используя теоремы сложения (1).

При нахождении модуля абсолютной скорости учитываем перпендикулярность векторов v_rиv_e(рис.9а). Для момента времениt₁= 1с с учетом (2) и (6) получаем

= 100 см/с = 1 м/с .

Теорема о сложении ускорений (1) с учетом равенства (7) принимает вид

a _а = a _r + a _e + a _en + a _к (10)

Для нахождения суммы четырех векторов в правой части (10) используем метод проекций. Вычислим координаты вектора a _ав системеМ₁xyz, изображенной на рис.9б. Для этого спроектируем на координатные оси обе части векторного равенства (10), учитывая, что направления и модули векторовa _r,a _e,a _en,a _куже известны:

a_ах=a_e+a_к= 80 + 480 = 560 см/с²,a_аy=a_en–a_rcos60= 640 –120·0,5 = 700 см/с²,a_az=a_rcos30= 120·0,86 см/с² = 103 см/с² .

После этого модуль абсолютного ускорения находим по известной формуле векторной алгебры [2, c.226] :

902см /с²≈ 9 м/с².

Ответ:v_a= 1 м/с ,a_a= 9 м/с².

ДИНАМИКА

Общими для условий всех задач являются допущения :

- все нити (тросы) - абсолютно гибкие нерастяжимые и невесомые;

- скольжение нитей, перекинутых через блоки отсутствует;

- качение катков (колес) происходит без проскальзывания.

Номер условия	mкг	V0м/с	Q H	R H	АВм	 с	Fx(t) Н
0	2,4	12	5	0,8V 2	1,5	-	4 sin(4t)
1	2	20	6	0,4V 2	-	2,5	- 5 cos(4t)
2	8	10	16	0,5V 2	4	-	6t 2
3	1,8	24	5	0,3V 2	-	2	- 2 cos(2t)
4	6	15	12	0,6V 2	5	-	- 5 sin(2t)
5	4,5	22	9	0,5V	-	3	3t
6	4	12	10	0,8V 2	2,5	-	6 cos(4t)
7	1,6	18	4	0,4V	-	2	- 3 sin(4t)
8	4,8	10	10	0,2V 2	4	-	4 cos(2t)
9	3	22	9	0,5V	-	3	4 sin(2t)

Задача Д1

Груз Dмассойm, получив в положенииАначальную скоростьV₀, движется по изогнутой трубкеABC, расположенной в вертикальной плоскости (рис. Д1.0 - Д1.9). На прямолинейном участкеАВна груз кроме силы тяжести действуют:

- постоянная сила Q(ее направление показано на рисунках, а модуль даётся в таблице 1.);

- сила сопротивления R , направленная противоположно скоростиVгруза (выражение для модуля силыRдано в табл.1.).

Расстояние АВ=L или времядвижения груза из положенияАв положениеВсчитаются известными и даются в табл. 1.

Таблица 1

В точке Вгруз, не изменяя значение своей скорости, переходит на прямолинейный участокВСтрубки. Здесь действие силQиRпрекра-щается, и на груз кроме силы тяжести, действуют:

- параллельная оси трубки переменная сила F(t), проекция которойF_x (t) задана в табл.1 (осьх -направлена вдольВСотВкС);

- сила кулоновского трения о стенки трубки (коэффициент трения f = 0,2 ).

Считая груз материальной точкой, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. зависимость , гдеx=BD.

Указания.Д1 - задача на интегрирование дифференциального уравнения прямолинейного движения материальной точки [1], с.189.

Решение задачи состоит из двух частей:

1. Сначала нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ. В результате, зная время движения на участкеАВили его длинуL, можно определить скорость груза в точкеВ(эта скорость будет начальной для движения на втором участке –ВС).

В случае, когда задана длина LучасткаАВ, целесообразно исключить времяtиз дифференциального уравнения движения с помощью следующего преобразования

(1)

где z– обозначение координатной оси, направленной вдольАВ .

2. Затем следует составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС, ведя отсчет времени от мо-мента , когда груз находится в точкеВ(положите в этот моментt= 0).

На участке ВСучитывается сила трения, направление которой противоположно скорости тела. Если при движении вдольВСтело остановится (или изменит направление движения), то следует определить момент времени, когда это впервые произойдет.

Образец выполнения задачи Д1

Условия задачи. Участок АВдлинойL= 2,5 м расположен вертикально, а участокВС - под углом 30 ⁰к горизонту (рис.1).

Масса груза m= 2 кг; в положенииА его скоростьV₀= 5 м/с . Модуль силы сопротивления Н (- скорость груза в м/с). Проекция силыFна осьВхзадана выражением Н (t – в с). На участкеВСкоэффициент трения груза о стенки трубкиf = 0,7.

Определить закон движения груза на участке ВС :x=f (t).

Решение.Изобразим груз в его произвольном положении на участкеАВи все действующие на него силы: силу тяжестиP=mgи силу сопротивленияR (рис.1).

Считая груз материальной точкой, запишем для него основной закон динамики:

(2)

Проектируя векторное уравнение (1) на ось Azс началом в точкеА(рис.1) , получаем дифференциальное уравнение движения груза

,

которое с учетом преобразования (1) и направлений действующих сил, показанных на рис.1, принимает вид: