4. Задачи для контрольных работ

Для обозначения векторных величин далее повсюду используется прямой шрифт с выделением, например F,a,v; а для скалярных – курсив без выделения, например M, F _x,v,.

Задача с1

Жесткая рама (рис.С1.0 – С1.9) закреплена неподвижно на двух опорах АиВ. ОпораА– неподвижный цилиндрический шарнир. ОпораВ– или подвижный шарнир (рис.С1.0 - С1.2, С1.5, С1.8) или невесомый стерженьBО, который крепится к раме и к неподвижному основаниюОшарнирами (рис.С1.3, С1.4, С1.6, С1.7, С1.9)

На раму действуют:

- пара сил с моментом М, величина которого указана в табл.1, а направление на рисунке;

- сосредоточенные силы F₁ ,F₂,F₃,F₄, которые имеют вели­чины, направления и точки приложения, указанные в табл.1 (напри­мер, в условии 1 силаF₁имеет величинуF₁= 10 кН, направлена под углом 30° к го­ризонтальной оси и приложена в точкеКрамы).

- равномерно распределенная cила, интенсивность которойq= 2 кН/м, а участок приложения показан на рисунке.

Определить реакции опор АиВ.

При окончательных подсчетах принять а= 0,6 м.

Указания.С1 – задача на составление уравнений равновесия для тела, находящегося под действием плоской системы сил. Эти уравнения выражают необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела и имеют вид [1, с.46] :

,,. (1)

Для составления уравнений (1) предварительно требуется:

- заменить распределенную силу ее равнодействующей;

- освободить тело от наложенных на него связей, заменив их реакциями (силами);

Таблица 1.

Сила									Момент пары , кНм
Номер условия	F1 = 10 кН		F2 = 20 кН		F3 = 30 кН		F4­ = 40 кН
	Точка прилож.	1, град.	Точка прилож.	2, град.	Точка прилож.	3, град.	Точка прилож.	4, град.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	– K – D – H – D – E	– 30 – 60 – 60 – 45 – 30	D – H – K – E – H –	60 – 45 – 30 – 30 – 60 –	E – K – E D – H – –	45 – 30 – 60 30 – 60 – –	– H – E – – K – D K	45 – 30 – – 60 – 30 60	10 14 20 26 12 24 30 22 18 38

- выбрать направления осей xиyдля проектирования и моментную точкуО.

В качестве моментной рекомендуется выбирать точку, в которой пересекаются линии действия двух реакций. В этом случае уравнение моментов будет содержать лишь одну неизвестную реакцию.

При вычислении момента силы F_i(i= 1, …, 4) удобно разложить её на составляющиеF_i^',F_i^'', для каждой из которых плечо легко вычисляется, а затем воспользоваться теоремой Вариньона (о моменте равнодействующей) [1,c.40]:

(2)

Образец выполнения

Условия задачи. Жесткая рамаADEBзакреплена на двух опорах:A(подвижный шарнир) иB(неподвижный шарнир). На раму действуют заданные активные силы:

• сосредоточенная сила Fвеличиной 25 кH, приложенная в точкеD;

• пара сил с моментом М = 50 кН·м (направление момента показано на рис.1 дуговой стрелкой);

• равномерно распределенная на участке EВсила интенсивностью

q= 2 кН/м.

Размеры и углы показаны на рис1; а= 0,5 м .

Определить реакции опор Аи В.

Решение.Рассмотрим равновесие рамыАDEВ. Изобразим на рисунке действующие на раму активные силы. Равномерно распределенную на участкеЕВсилу заменим её равнодействующейQ, величина которой

Q=q·ЕВ=q· 2а= 20 кН/м · 1м = 20 кН ,

а линия действия проходит через середину участка ЕВ(рис.1).

Освободим раму от связей, наложенных в точкахАиВ, заменив эти связи силами - реакциями. Реакцию неподвижного шарнираR_В , направление которой неизвестно, разложим на две составляющие: горизонтальную -X_Ви вертикальную -Y_В . РеакцияR_Аподвижного шарнираА(шарнира на катках) направляется перпендикулярно опорной плоскости катков – вертикально.

Для составления уравнений равновесия (1) введем координатные оси ху­и выберем в качестве моментной точкуВ, через которую проходят линии действия двух неизвестных реакцийX_ВиY_В.

Записываем уравнения проекций сил на оси xиy:

,, (2)

,. (3)

Действующая на раму пара сил в уравнениях проекций не учитывается, поскольку сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю.

Записываем уравнение моментов:

,. (4)

Здесь для вычисления момента силы Fотносительно точкиВиспользовалась теорема Вариньона (2). СилаFбыла разложена на две составляющие:F =F^' +F^'' (рис.1), величины которых,. После этого момент силыFбыл найден как сумма моментов этих составляющих:

Подставляем в составленные уравнения равновесия (2), (3), (4) числовые значения заданных величин:

;;

. (5)

Решая систему линейных уравнений (5), находим числовые значения искомых реакций.

Ответ:R_А= 1,4 кН , Х_В = 12,5 кН ,Y_В = – 2,7 кН (отрицательный знак указывает, что силаY_Вимеет направление, противоположное изображенному на рис.1)