![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования российской федерации
- •Содержание.
- •Глава I. Множества.
- •1.1. Определения и обозначения.
- •1.2. Операции над множествами.
- •1.3. Свойства операций
- •1.4. Мощность множества.
- •1.5. Прямое произведение множеств.
- •Глава II. Отношения, функции, алгебраические
- •2.1. Бинарные отношения.
- •2.2. Функции.
- •2.3. Алгебраические структуры и морфизмы.
- •Отношение конгруэнтности позволяет определить так называемую фактор-структуру, носителем которой является множество классов эквивалентности. Приведём примеры.
- •Контрольные вопросы
- •Тест II
- •Глава III. Булевы функции.
- •3.1. Определение и основные свойства.
- •3.2 Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы
- •3.3. Упрощение д.Н.Ф.
- •Контрольные вопросы.
- •Тест III
- •Глава IV. Элементы математической логики
- •4.1. Исчисление высказываний.
- •4.2. Логическое следствие
- •4.3. Предикаты и кванторы
- •Тест IV.
- •Глава 5. Алгоритмы и машина Тьюринга.
- •5.3. Машина Тьюринга.
- •F : q a a
- •5.4. Алгоритмически неразрешимые проблемы.
- •Итоговый тест.
- •Рекомендуемая литература. Основная:
- •Дополнительная
- •Словарь основных терминов
- •Ответы к тестам
- •Зуев Юрий Анатольевич Садыкова Альбина Рифовна Математическая логика и теория алгоритмов. Теория множеств. Дискретная математика
Отношение конгруэнтности позволяет определить так называемую фактор-структуру, носителем которой является множество классов эквивалентности. Приведём примеры.
Пусть
- алгебраическая структура целых чисел
с операциями сложения и умножения.
Отношение сравнения по модулюnявляется отношением конгруэнтности и
позволяет определить фактор-структуру
,
элементами которой являются классы
вычетов
.
Она называется кольцом классов вычетов
по модулюn.
Отношение эквивалентности элементов группы Gпо нормальной подгруппеHявляется отношением конгруэнтности и позволяет определить на множестве смежных классов фактор-группуG/H.
Контрольные вопросы
Дайте определение бинарного отношения.
Какое бинарное отношение называют транзитивным?
Приведите пример бинарного отношения.
Какое бинарное отношение называют отношением эквивалентности?
Что называют функцией?
Тест II
На множестве А={1,3,5,7} задано бинарное отношение R={(x,y):x-y=4}. Какая из пар принадлежит данному отношению?
а) (1,3); б) (3,7); в) (5,1).
2. Какими свойствами обладает отношение “х делит у” на множествеN?
а) рефлексивность, |
б) рефлексивность, |
в) только рефлексивность. |
симметричность, |
антисимметричность, |
|
транзитивность; |
транзитивность; |
|
3. Элементназывается минимальным, если из
следует,
что
а)
b<a; б) ;
в) a<b.
4.Если изследует
а1=а2, то функцию называют
а) инъекцией; б) сюръекцией; в) биекцией.
5.Является ли функция,
гдеf(x)=x2
а) инъекцией; б) сюръекцией; в) биекцией.
Глава III. Булевы функции.
3.1. Определение и основные свойства.
Булевой
или логической функцией от n
переменных
называется функция
,
определенная на множестве всех двоичных
наборов длиныn
и принимающая на каждом из них значение
0
или 1.
Так как двоичных наборов длины n
имеется 2n
, то булевых функций от n
переменных
.
Булевы функции играют важную роль в
логике, а также при проектировании
различных логических кибернетических
устройств, например, электронных
вычислительных машин. Так как область
изменения каждой переменной и область
значений функции есть одно и то же
множество
,
то это позволяет вместо каждой из
переменных некоторой функции подставлять
другие функции, получая, таким образом,
из имеющегося запаса функций новые
функции.
Булевы
функции от одной переменной f(x)
четыре:
(неx)
и тождественные 0
и 1
.
Булевых функций от 2 переменных 16 .
Перечислим важнейшие из них;
конъюнкция (логическое ,,И”), обозначаемая
или просто
;
дизъюнкция (логическое ,,ИЛИ”)
;
импликация (следование)
,
эквивалентность
.
Приведем таблицу, задающую 4 указанных функции (таблицу истинности):
-
x
1 x2
x1x2
x1
x2
x1x2
x1x2
0 0
0
0
1
1
0 1
0
1
1
0
1 0
0
1
0
0
1 1
1
1
1
1
Заметим, что
и
,
то есть выполнены законы де Моргана.
Вообще, булевой функции от переменных
можно поставить в соответствие
подмножество тех двоичных наборов, на
которых она равна1. Тем самым
устанавливается изоморфизм между
множеством подмножеств2n- элементного множества с операциями
объединения, пересечения и дополнения
и множеством булевых функций отnпеременных с операциями дизъюнкции,
конъюнкции и отрицания. Поэтому множество
булевых функций отn
переменных с тремя перечисленными
операциями является булевой алгеброй
со всеми вытекающими отсюда свойствами.
Заметим, что импликация и эквивалентность могут быть выражены через дизъюнкцию конъюнкцию и отрицание
что непосредственно может быть проверено с помощью таблицы истинности.
Кроме того, эквивалентность может быть выражена через импликацию следующим образом
что вполне отвечает привычному представлению о том, что х1эквивалентно х2, если х1влечет х2и х2влечет х1.
Булева
функция
называется двойственной к функцииf(x,...,
xn),
f**=f.
Если f*=f
, то f
называется самодвойственной. Дизъюнкция
и конъюнкция двойственны друг другу.
На множестве двоичных наборов длины n отношение порядка
вводится
следующим образом:
Если считать наборы характеристическими векторами подмножеств n-элементного множества, то это отношение на множестве наборов соответствует упорядоченью подмножеств по включению.
Булева
функция f
называется монотонной, если из
следует
.